Как решить: Сторона равностороннего треугольника равна 8√3?

Для решения задачи о нахождении радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника необходимо знать несколько интересных свойств и формул. Давайте подробно разберем этот процесс по пунктам.

### Шаг 1: Понимание основных свойств равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это фигура, в которой все три стороны равны, а также все три угла равны (по 60°). Кроме того, у равностороннего треугольника есть несколько важных радиусов:
- Радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
- Радиус окружности, вписанной в треугольник.

Для равностороннего треугольника все эти величины просты и легко рассчитываются.

### Шаг 2: Формула для радиуса описанной окружности

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, можно вычислить по следующей формуле:

\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

где \( R \) — радиус описанной окружности, а \( a \) — длина стороны треугольника.

### Шаг 3: Подставляем известное значение

В нашем случае сторона равностороннего треугольника равна \( a = 8\sqrt{3} \). Подставим это значение в формулу:

\[
R = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
\]

### Шаг 4: Упрощаем

Теперь упростим результат:

\[
R = 8
\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данного равностороннего треугольника, равен 8.

### Шаг 5: Дополнительные сведения

Важно отметить, что радиус описанной окружности у равностороннего треугольника не только зависит от длины стороны, но и также связан с другими величинами треугольника.

1. **Радиус вписанной окружности**: У равностороннего треугольника радиус вписанной окружности рассчитывается по формуле:
   \[
   r = \frac{a\sqrt{3}}{6}
   \]
   В нашем случае:
   \[
   r = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{24}{6} = 4
   \]

2. **Площадь треугольника**: Площадь равностороннего треугольника также можно найти:
   \[
   S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
   \]
   Если подставить \( a = 8\sqrt{3} \):
   \[
   S = \frac{\sqrt{3}}{4}(8\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 192 = 48\sqrt{3}
   \]

### Заключение

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника со стороной \( 8\sqrt{3} \), равен 8. Эта величина, как и другие характеристики равностороннего треугольника, демонстрирует гармонию и симметрию, характерные для таких фигур в Euclidean geometry. Эти свойства применимы и для многих задач, связанных с треугольниками и их окружностями, что делает эту тему весьма интересной и важной в геометрии!