Как решить данный тип квадратного уравнения √x^2-2(конец корня)=х^2-2?

Решение квадратного уравнения вида \( \sqrt{x^2 - 2} = x^2 - 2 \) можно разбить на несколько этапов. Подход к уравнению должен быть внимательным, поскольку мы имеем дело с корнем, который требует особого обращения. Давайте рассмотрим процесс шаг за шагом.

### Шаг 1: Изолируем корень
У нас есть уравнение:

\[
\sqrt{x^2 - 2} = x^2 - 2.
\]

Первым делом, чтобы упростить решение, мы возведем обе части уравнения в квадрат, но при этом будем помнить, что это может добавить лишние корешки. Получаем:

\[
(\sqrt{x^2 - 2})^2 = (x^2 - 2)^2.
\]

### Шаг 2: Упростим уравнение
Таким образом, у нас получится:

\[
x^2 - 2 = (x^2 - 2)(x^2 - 2).
\]

Развиваем правую часть:

\[
x^2 - 2 = x^4 - 4x^2 + 4.
\]

Теперь переместим все элементы в одну сторону уравнения:

\[
0 = x^4 - 4x^2 - x^2 + 4 + 2,
\]

что эквивалентно:

\[
0 = x^4 - 5x^2 + 6.
\]

### Шаг 3: Замена переменной
Для удобства можно ввести новую переменную \( y = x^2 \). Переписываем уравнение:

\[
0 = y^2 - 5y + 6.
\]

### Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \):

\[
D = b^2 - 4ac,
\]
где \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \).

Таким образом,

\[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.
\]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}.
\]

Получаем два корня:

\[
y_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{4}{2} = 2.
\]

### Шаг 5: Возвращаемся к \( x \)
Так как мы ввели замену \( y = x^2 \), можем выразить \( x \):

\[
x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3},
\]

\[
x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{2}.
\]

### Шаг 6: Проверка корней
Для того чтобы убедиться, что полученные корни действительно являются решениями исходного уравнения, вставим их обратно в уравнение \( \sqrt{x^2 - 2} = x^2 - 2 \) и проверим:

1. Для \( x = \sqrt{3} \):
   \[
   \sqrt{3 - 2} = 1, \quad 3 - 2 = 1 \quad \text{(все верно)}.
   \]

2. Для \( x = -\sqrt{3} \):
   \[
   \sqrt{3 - 2} = 1, \quad 3 - 2 = 1 \quad \text{(все верно)}.
   \]

3. Для \( x = \sqrt{2} \):
   \[
   \sqrt{2 - 2} = 0, \quad 2 - 2 = 0 \quad \text{(все верно)}.
   \]

4. Для \( x = -\sqrt{2} \):
   \[
   \sqrt{2 - 2} = 0, \quad 2 - 2 = 0 \quad \text{(все верно)}.
   \]

### Шаг 7: Заключение
Таким образом, мы пришли к полному решению нашего квадратного уравнения. Корни, которые мы нашли: 

\[
x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}.
\]

Эти решения являются корректными и обратимыми для данного уравнения, так что мы можем быть уверены в их валидности.