Доказать, что точки А, В, С и D принадлежат одной плоскости?

Для того чтобы доказать, что четыре точки A, B, C и D принадлежат одной плоскости, необходимо проверить, что векторы, образованные этими точками, лежат в одной плоскости. Это можно сделать, вычисляя объем параллелепипеда, образованного этими четырьмя точками. Если объем равен нулю, то точки лежат в одной плоскости. Объем этого параллелепипеда можно найти с помощью вычисления детерминанта.

Обозначим точки:
1. \( A(x_1, y_1, z_1) \)
2. \( B(x_2, y_2, z_2) \)
3. \( C(x_3, y_3, z_3) \)
4. \( D(x_4, y_4, z_4) \)

Для удобства будем использовать векторы:
- \( \vec{AB} = B - A \)
- \( \vec{AC} = C - A \)
- \( \vec{AD} = D - A \)

Точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, если векторы \( \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \) линейно зависимы, что можно проверить с помощью вычисления определителя.

### Для первой группы точек (A(3,1,1), B(–2,1,–2), C(–3,–1,0), D(2,0,1,7))

1. **Вычисление векторов**:
   - \( \vec{AB} = B - A = (-2 - 3; 1 - 1; -2 - 1) = (-5; 0; -3) \)
   - \( \vec{AC} = C - A = (-3 - 3; -1 - 1; 0 - 1) = (-6; -2; -1) \)
   - \( \vec{AD} = D - A = (2 - 3; 0 - 1; 1.7 - 1) = (-1; -1; 0.7) \)

2. **Составление матрицы из координат векторов**:
\[
\begin{vmatrix}
-5 & 0 & -3 \\
-6 & -2 & -1 \\
-1 & -1 & 0.7
\end{vmatrix}
\]

3. **Вычисление детерминанта**:
   - Используем правило Саррюса или разложение по одной из строк (например, первой):
\[
D = -5 \begin{vmatrix}
-2 & -1 \\
-1 & 0.7
\end{vmatrix} + 0 + (-3)\begin{vmatrix}
-6 & -2 \\
-1 & -1
\end{vmatrix}
\]
   - Вычисляем:
\[
D = -5((-2) \cdot 0.7 - (-1) \cdot (-1)) + (-3)((-6)(-1) - (-2)(-1))
\]
   \[
= -5(-1.4 - 1) + (-3)(6 - 2) = -5(-2.4) - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0
\]

Так как детерминант равен нулю, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

### Для второй группы точек (A(–2;1;–1), B(–1;1;1), C(0;4;–1), D(–2;4;–3))

1. **Вычисление векторов**:
   - \( \vec{AB} = B - A = (-1 + 2; 1 - 1; 1 + 1) = (1; 0; 2) \)
   - \( \vec{AC} = C - A = (0 + 2; 4 - 1; -1 + 1) = (2; 3; 0) \)
   - \( \vec{AD} = D - A = (-2 + 2; 4 - 1; -3 + 1) = (0; 3; -2) \)

2. **Составление матрицы**:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 3 & -2
\end{vmatrix}
\]

3. **Вычисление детерминанта**:
   - Сначала вычислим по первой строке:
\[
D = 1 \begin{vmatrix}
3 & 0 \\
3 & -2
\end{vmatrix} + 0 + 2\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
0 & 3
\end{vmatrix}
\]
   - Затем подставим значения:
\[
D = 1(3 \cdot (-2) - 0 \cdot 3) + 2(2 \cdot 3 - 0 \cdot 3) = -6 + 12 = 6
\]

Так как детерминант не равен нулю, точки A, B, C и D не lie в одной плоскости.

### Вывод:
- Для первой группы точек A, B, C и D принадлежат одной плоскости.
- Для второй группы точек A, B, C и D не принадлежат одной плоскости.