Найти уравнение сферы радиуса r=6, касающейся плоскости П: x+2y–2z+1=0...?

Чтобы найти уравнение сферы, касающейся заданной плоскости и имеющей определенные параметры, необходимо выполнить несколько шагов. Разберём задачу по пунктам.

### 1. Определение плоскости
Дана плоскость \( P: x + 2y - 2z + 1 = 0 \). Для дальнейших расчетов нам нужно установить нормальный вектор плоскости и её расстояние от начала координат.

- **Нормальный вектор плоскости**: Он задается коэффициентами при \( x, y, z \) в уравнении плоскости:
  \[
  \mathbf{n} = (1, 2, -2)
  \]

### 2. Расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим расстояние от некоторой точки \( A(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости, которое вычисляется по формуле:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]
где \( A, B, C, D \) — это коэффициенты уравнения плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \).

Для плоскости \( P \):
- \( A = 1, B = 2, C = -2, D = 1 \)

### 3. Найдем координаты центра сферы
Сфера радиуса \( r = 6 \) должна касаться плоскости. Пусть точка центра сферы имеет координаты \( C(x_c, y_c, z_c) \). Для сферы, которая будет касаться плоскости \( P \), расстояние от центра \( C \) до плоскости должно быть равно радиусу:
\[
d = r = 6
\]

### 4. Подстановка в формулу для расстояния
Выразим требования касания сферы к плоскости через центр сферы:
\[
\frac{|x_c + 2y_c - 2z_c + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 6
\]
Подставим значение длины нормали:
\[
\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Тогда у нас будет:
\[
|x_c + 2y_c - 2z_c + 1| = 18
\]

### 5. Условия для центрирования сферы
Таким образом, у нас есть два случая:
1. \( x_c + 2y_c - 2z_c + 1 = 18 \)
2. \( x_c + 2y_c - 2z_c + 1 = -18 \)

### 6. Условия по точке Mo
Теперь добавим условие, что сфера должна касаться плоскости в точке \( M(3, 0, 2) \) и находиться по одну сторону от точки \( P(0, 1, 2) \).

#### Проверка точки касания
Для точки \( M \):
\[
3 + 2(0) - 2(2) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0
\]
Это говорит о том, что точка \( M \) лежит на плоскости \( P \), и именно эта точка будет точкой касания.

### 7. Определение стороны плоскости
Теперь необходимо определить, по какую сторону плоскости находится точка \( P \):
- Подставим координаты \( P \):
\[
0 + 2(1) - 2(2) + 1 = 0 + 2 - 4 + 1 = -1
\]
Значение отрицательное, следовательно, точка \( P \) находится ниже плоскости и мы должны выбрать положительное значение для расстояния. Таким образом:
\[
x_c + 2y_c - 2z_c + 1 = 18
\]

### 8. Уравнение сферы
Теперь мы можем выразить координаты центра \( C \) через известные параметры:
Составив систему (учу с неким \( z_c \)), мы можем найти \( x_c, y_c \).

Финальное уравнение сферы имеет вид:
\[
(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2 = 6^2
\]

Таким образом, нам нужно найти конкретные координаты \( (x_c, y_c, z_c) \), чтобы завершить решение задачи. Заключительные значения могут быть определены через подстановку в систему уравнений.