ЕГЭ Математика, Как ответить на вопрос про конус, отсечённый плоскостью?

Чтобы ответить на этот вопрос о секущем конусе и объёме, нужно понимать некоторые основные принципы геометрии, связанные с подобием фигур и рассчитать объём конуса. Разделим процесс на несколько шагов.

### Шаг 1: Определение характеристик исходного конуса
Объём \( V \) конуса рассчитывается по формуле:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

Мы знаем, что объём равен 625 кубических единиц:
\[
625 = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

### Шаг 2: Отношение высоты 
Плоскость, проведённая через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, определяет, что высота отсечённого конуса \( h_1 \) будет равна \( \frac{1}{5}h \) (так как 1 + 4 = 5) и высота оставшейся части \( h_2 = \frac{4}{5}h \).

### Шаг 3: Определение радиуса основания секущего конуса
Поскольку плоскость, проведённая параллельно основанию, делит конус в отношении 1:4, она также будет создавать подобный конус. Поэтому радиус нового основания \( r_1 \) будет пропорционален высоте нового конуса:
\[
\frac{r_1}{r} = \frac{h_1}{h} = \frac{1/5 h}{h} = \frac{1}{5}
\]
Отсюда,
\[
r_1 = \frac{1}{5}r
\]

### Шаг 4: Вычисление объёма отсечённого конуса
Теперь мы можем рассчитать объём отсечённого конуса, используя формулу объёма:
\[
V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1
\]

Подставляем известные значения:
\[
V_1 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{5}r\right)^2 \cdot \frac{1}{5}h
\]
\[
= \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{25} r^2 \cdot \frac{1}{5} h
\]
\[
= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{125} \pi r^2 h
\]

### Шаг 5: Подставление величины объёма оригинального конуса
Поскольку весь объём конуса уже задан и равен 625, мы можем подставить его:
\[
V_1 = \frac{1}{125} \cdot 625
\]
\[
= 5
\]

### Заключение:
Таким образом, объём конуса, отсекаемого плоскостью, равен **5 кубических единиц**.

### Пояснения и дополнения
1. **Подобие фигур**: Важно помнить, что подобие фигур позволяет нам использовать соотношения между величинами (высота и радиус), что значительно упрощает расчёты.
2. **Практическое применение**: Упрощённые случаи подобия конусов используются не только в математике, но и в архитектуре, дизайне, а также в природных явлениях (например, форма вулканов).
3. **Формулы объёмов**: Понимание произвольных объемов геометрических фигур и их взаимосвязи является основой для решения более сложных задач и анализа.
4. **Распределение объёмов**: Интересно, что в этой задаче мы эффективно используем только соотношение высоты, чтобы определить объём фигуры, что показывает связь между линейными и объемными характеристиками фигур.

Применяя эти принципы, можно более уверенно подходить к вопросам, связанным с объемами конусов и другими геометрическими задачами, которые встречаются в ЕГЭ.