ЕГЭ Математика, Как ответить на вопрос про площадь двух шаров?

Чтобы ответить на вопрос о том, во сколько раз площадь поверхности меньшего шара менее площади поверхности большего, нам нужно сначала вспомнить, как рассчитывается площадь поверхности шара. Формула для площади поверхности шара выглядит так:

\[ S = 4 \pi r^2, \]

где \( S \) — площадь поверхности шара, а \( r \) — радиус шара.

Теперь давайте сравним два шара с радиусами 1 и 4.

### Шаг 1: Вычисление площади поверхности меньшего шара

Для шара с радиусом 1:

\[ S_1 = 4 \pi (1^2) = 4 \pi \cdot 1 = 4 \pi. \]

### Шаг 2: Вычисление площади поверхности большего шара

Для шара с радиусом 4:

\[ S_2 = 4 \pi (4^2) = 4 \pi \cdot 16 = 64 \pi. \]

### Шаг 3: Сравнение площадей

Теперь, чтобы узнать, во сколько раз площадь поверхности меньшего шара меньше площади поверхности большего, нужно разделить площадь меньшего шара на площадь большего:

\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi}{64 \pi}.
\]

### Шаг 4: Упрощение выражения

Здесь \( \pi \) сокращается:

\[
\frac{4}{64} = \frac{1}{16}.
\]

Таким образом, мы можем заключить, что:

- Площадь поверхности меньшего шара в 16 раз меньше площади поверхности большего шара.

### Дополнительные размышления:

1. **Отношение радиусов**: Заметим, что радиусы двух шаров имеют отношение \( r_1:r_2 = 1:4 \). Это имеет важное значение, поскольку площадь поверхности пропорциональна квадрату радиуса. То есть, если радиус увеличивается в 4 раза (от 1 до 4), то площадь увеличивается в \( 4^2 = 16 \) раз.

2. **Физическая интерпретация**: Понимание квадратного отношения довольно важно в физике и инженерии, где вы часто имеете дело с формами и объемами. Это демонстрирует, как быстро увеличиваются величины при увеличении линейных размеров объекта.

3. **Применение в контексте**: Эти вычисления могут быть полезны в таких областях, как астрономия (при сравнении размеров планет и звезд), инженерия (при проектировании различных конструкций) и даже в биологии (например, при рассмотрении живых организмов и их сред обитания).

### Заключение:

Итак, мы получили окончательный ответ: площадь поверхности меньшего шара в 16 раз меньше площади поверхности большего шара. Этот факт показывает не только важность математического анализа в решении задач, но и позволяет глубже понять соотношение размеров и физических параметров объектов в реальном мире.