Как решить: Два автомобиля отправляются в 800-километровый пробег?

Решение задачи о двух автомобилях, отправляющихся в 800-километровый пробег, можно разбить на несколько четких шагов. Давайте по порядку разберемся в условии и представим всё это в формате понятного алгоритма.

### Шаг 1: Определение переменных
Начнем с обозначения скоростей автомобилей и времени:
- Пусть скорость второго автомобиля составляет \( v \) км/ч.
- Тогда скорость первого автомобиля будет \( v + 36 \) км/ч (так как он едет на 36 км/ч быстрее).
- Обозначим время в пути второго автомобиля как \( t \) часов.

### Шаг 2: Выражение времени первого автомобиля
Согласно условию, первый автомобиль по arrives to finish 5 hours раньше второго. Если второй автомобиль затратил \( t \) часов, то первый затратит \( t - 5 \) часов.

### Шаг 3: Запись уравнений
Теперь мы можем записать уравнения, основанные на расстоянии. Расстояние всегда равно произведению скорости на время. Для обоих автомобилей это будет выглядеть так:
- Для второго автомобиля:
\[ 800 = v \cdot t \]
  
- Для первого автомобиля:
\[ 800 = (v + 36) \cdot (t - 5) \]

### Шаг 4: Подстановка и преобразование
Теперь подставим первое уравнение во второе. Выразим \( t \) из первого уравнения:
\[ t = \frac{800}{v} \]

Подставим это значение во второе уравнение:
\[
800 = (v + 36) \cdot \left(\frac{800}{v} - 5\right)
\]

### Шаг 5: Упрощение уравнения
Упростим это уравнение:
\[
800 = (v + 36) \cdot \left(\frac{800 - 5v}{v}\right)
\]

Теперь уберем дробь, умножив обе стороны на \( v \):
\[
800v = (v + 36)(800 - 5v)
\]

Раскроем скобки:
\[
800v = 800v + 2880 - 5v^2 - 180v
\]

### Шаг 6: Перенос и упрощение
Теперь все \( 800v \) сократим с обеих сторон:
\[
0 = -5v^2 - 180v + 2880
\]

Умножим уравнение на -1 для удобства:
\[
5v^2 + 180v - 2880 = 0
\]

### Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
где \( a = 5 \), \( b = 180 \), \( c = -2880 \):
\[
D = 180^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2880) = 32400 + 57600 = 90000
\]

Извлекаем корень:
\[
D = \sqrt{90000} = 300
\]

Теперь применяем формулу корней квадратного уравнения:
\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-180 \pm 300}{10}
\]
Получаем два корня:
1. \( v_1 = \frac{120}{10} = 12 \) км/ч
2. \( v_2 = \frac{-480}{10}  \) (отрицательное значение, не принимаем)

### Шаг 8: Находим скорость первого автомобиля
Теперь, зная скорость второго автомобиля \( v = 12 \) км/ч, находим скорость первого:
\[
v_1 = v + 36 = 12 + 36 = 48 \text{ км/ч}.
\]

### Шаг 9: Ответ
Итак, скорость первого автомобиля составляет **48 км/ч**.

### Дополнение к решению
Обратите внимание, что такие задачи позволяют тренировать навыки работы с алгеброй и механизмами составления уравнений. Важно не только найти ответ, но и понимать процесс его достижения. Это знание может пригодиться в будущих экономических, физических, а также в более сложных математических задачах.