Как решить: Баржа прошла по течению реки 84 км?

Чтобы решить задачу о движении баржи по реке, нам необходимо учитывать различные параметры: собственную скорость баржи, скорость течения реки, а также расстояния и суммарное время в пути. Рассмотрим шаги решения этой задачи подробнее.

### Данные задачи:

1. **Расстояние по течению**: 84 км
2. **Расстояние против течения**: 66 км
3. **Общее время в пути**: 10 часов
4. **Скорость течения реки**: 5 км/ч

### Шаг 1: Определение переменных

Пусть собственная скорость баржи равна \( v \) км/ч.

Тогда, когда баржа движется по течению, ее скорость будет равна \( v + 5 \) км/ч (скорость баржи плюс скорость течения). Когда баржа движется против течения, ее скорость будет равна \( v - 5 \) км/ч (собственная скорость минус скорость течения).

### Шаг 2: Формулы для времени

Время, затраченное на проход по течению, можно найти по формуле:

\[
t_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{84}{v + 5}
\]

где \( S_1 = 84 \) км — расстояние по течению, \( V_1 = v + 5 \) км/ч — скорость по течению.

Время, затраченное на обратный путь (против течения):

\[
t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{66}{v - 5}
\]

где \( S_2 = 66 \) км — расстояние против течения, \( V_2 = v - 5 \) км/ч — скорость против течения.

### Шаг 3: Составление уравнения

Согласно условию задачи, общее время в пути составляет 10 часов:

\[
t_1 + t_2 = 10
\]

Подставляем значения времени:

\[
\frac{84}{v + 5} + \frac{66}{v - 5} = 10
\]

### Шаг 4: Умножаем на общий знаменатель

Чтобы избавиться от дробей, перемножим все уравнение на \( (v + 5)(v - 5) \):

\[
84(v - 5) + 66(v + 5) = 10(v^2 - 25)
\]

### Шаг 5: Упрощение уравнения

Раскроем скобки:

1. \( 84v - 420 + 66v + 330 = 10v^2 - 250 \)

Преобразуем уравнение:

\[
150v - 90 = 10v^2 - 250
\]

### Шаг 6: Приведение уравнения к стандартному виду

Переместим все в одну сторону:

\[
10v^2 - 150v + 250 - 90 = 0
\]

Что упрощается до:

\[
10v^2 - 150v + 160 = 0
\]

### Шаг 7: Деление на 10

Чтобы упростить уравнение, разделим каждое слагаемое на 10:

\[
v^2 - 15v + 16 = 0
\]

### Шаг 8: Решение квадратного уравнения

Теперь используем формулу корней квадратного уравнения:

\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где \( a = 1, b = -15, c = 16 \):

\[
v = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{15 \pm \sqrt{225 - 64}}{2}
\]
\[
= \frac{15 \pm \sqrt{161}}{2}
\]

### Шаг 9: Подсчет значений

Корни уравнения приблизительно равны:

\[
v_1 = \frac{15 + \sqrt{161}}{2} \quad и \quad v_2 = \frac{15 - \sqrt{161}}{2}
\]

Так как скорость не может быть отрицательной, рассматриваем только положительное значение.

### Заключение:

Полученное значение \( v \) — это собственная скорость баржи. Приблизительно это будет: 

\[
v \approx 13.5 \, \text{км/ч}
\]

Таким образом, собственная скорость баржи составляет примерно 13.5 км/ч.