Как решить: Баржа прошла по течению реки 56 км?

Для того чтобы найти собственную скорость баржи, начнем с обозначений, необходимых для решения задачи. Давайте обозначим:

- \( V_b \) — собственная скорость баржи (в км/ч).
- \( V_t \) — скорость течения реки, которая равна 5 км/ч.

Теперь мы можем определить скорости баржи во время движения по течению и против течения:

- Скорость баржи по течению (внизу) составит: \( V_b + V_t = V_b + 5 \) км/ч.
- Скорость баржи против течения (вверх) составит: \( V_b - V_t = V_b - 5 \) км/ч.

### 1. Расчет времени пути

Теперь нужно рассчитать время, затраченное на каждую часть пути. 

- **По течению:** Баржа прошла 56 км. Время, затраченное на этот участок пути, можно найти по формуле: 
  \[
  t_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{56}{V_b + 5}
  \]

- **Против течения:** После того как баржа развернулась, она прошла ещё 54 км. Время, затраченное на этот участок, будет равно:
  \[
  t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{54}{V_b - 5}
  \]

### 2. Составление уравнения

Согласно условию задачи, общее время на весь путь составило 5 часов, поэтому можно записать следующее уравнение:
\[
t_1 + t_2 = 5
\]

Подставляем ранее найденные выражения: 
\[
\frac{56}{V_b + 5} + \frac{54}{V_b - 5} = 5
\]

### 3. Упрощение уравнения

Чтобы решить это уравнение, умножим его на общий знаменатель \((V_b + 5)(V_b - 5)\), чтобы избавиться от дробей:
\[
56(V_b - 5) + 54(V_b + 5) = 5(V_b + 5)(V_b - 5)
\]
Раскроем скобки:
\[
56V_b - 280 + 54V_b + 270 = 5(V_b^2 - 25)
\]
Теперь упростим это:
\[
110V_b - 10 = 5V_b^2 - 125
\]
Преобразуем уравнение, переместив все элементы в одну сторону:
\[
5V_b^2 - 110V_b - 115 = 0
\]

### 4. Решение квадратного уравнения

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Используем формулу для решения квадратных уравнений:
\[
V_b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Здесь \( a = 5 \), \( b = -110 \), \( c = -115 \). Подставляем значения:
\[
V_b = \frac{110 \pm \sqrt{(-110)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-115)}}{2 \cdot 5}
\]

Рассчитаем дискриминант:
\[
D = 12100 + 2300 = 14400
\]

Теперь подставим в формулу:
\[
V_b = \frac{110 \pm 120}{10}
\]
Это дает два значения:
1. \( V_b = \frac{230}{10} = 23 \)
2. \( V_b = \frac{-10}{10} = -1 \) (что невозможно, поскольку скорость не может быть отрицательной)

### 5. Результат

Таким образом, собственная скорость баржи составляет **23 км/ч**.

### Заключение

Баржа, проходя по течению и обратно, показала, как важно учитывать комбинированные движения в различных условиях. Кроме того, данный пример наглядно демонстрирует, как можно использовать алгебраические методы для решения реальных задач. Надеемся, что этот разбор был понятным и полезным.