ЕГЭ Математика, Как решить задачу про сумму углов выпуклого многоугольника?

Для решения задачи о нахождении количества углов \( n \) в выпуклом многоугольнике, зная сумму его углов, следуем формуле:

\[
\sum = (n - 2) \cdot \pi
\]

где \( \sum \) — это сумма углов многоугольника, а \( n \) — количество его углов. В данной задаче дано, что сумма углов равна \( 6\pi \). 

Давайте пошагово разберем, как найти \( n \).

### Шаг 1: Подстановка значений в формулу

Заменим \( \sum \) в формуле на \( 6\pi \):

\[
6\pi = (n - 2) \cdot \pi
\]

### Шаг 2: Уборка π

Так как в обеих частях уравнения присутствует \( \pi \), мы можем разделить обе части на \( \pi \) (предполагая, что \( \pi \neq 0 \)):

\[
6 = n - 2
\]

### Шаг 3: Изолирование \( n \)

Теперь решим это уравнение относительно \( n \), добавив 2 к обеим сторонам:

\[
n = 6 + 2
\]
\[
n = 8
\]

Итак, мы нашли, что количество углов \( n \) в данном выпуклом многоугольнике равно \( 8 \).

### Шаг 4: Проверка полученного результата

Для уверенности, что наше решение верно, можем подставить найденное значение \( n \) обратно в формулу суммы углов и проверить:

\[
\sum = (n - 2) \cdot \pi = (8 - 2) \cdot \pi = 6\pi
\]

Сравнив, мы увидим, что \( \sum \) действительно равно \( 6\pi \), что подтверждает правильность нашего решения.

### Дополнительные размышления о многоугольниках

1. **Определение многоугольника**: Многоугольник — это фигура, состоящая из конечного числа отрезков, которые соединены концами (вершинами). Важно отметить, что многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми, но в данном случае мы работаем только с выпуклыми.

2. **Классификация многоугольников**: В зависимости от числа углов (или сторон) многоугольники классифицируются как треугольники (3 угла), четырёхугольники (4 угла), пятиугольники (5 углов) и так далее. Многоугольник с восемью углами называется октAGON.

3. **Свойства выпуклого многоугольника**: Все его внутренние углы меньше \( 180^\circ \), а сумма внутренних углов, как мы знаем, вычисляется по вышеуказанной формуле.

4. **Практическое применение**: Знание суммы углов многоугольника может быть полезно в различных областях, таких как архитектура, инженерия и компьютерная графика.

5. **Обобщение на полигоны**: Если рассматривать невыпуклые многоугольники, сумма углов рассчитывается по другой формуле, которая учитывает выпячивания и вогнутости в фигуре. Это показывает, как многоугольники варьируются по своим свойствам.

Таким образом, путь от заданной суммы углов до вычисления количества углов выпуклого многоугольника является простым и наглядным. Мы пришли к выводу, что \( n = 8 \) для многоугольника с суммой углов \( 6\pi \).