Как решить: Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом выстреле?

Чтобы решить задачу о том, какое минимальное количество патронов необходимо, чтобы стрелок с вероятностью не менее 0,8 попал в цель хотя бы один раз, следует воспользоваться элементами теории вероятностей. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

### Пункт 1: Понимание вероятностей
Стрелок попадает в цель с вероятностью \( p = 0,5 \). Это значит, что он промахивается с той же вероятностью:
\[
q = 1 - p = 0,5
\]
Если стрелок делает \( n \) выстрелов, вероятность того, что он **не попадет ни разу** в эти \( n \) выстрелов, равна \( q^n \):
\[
P(\text{промах} \, n \, \text{раз}) = q^n = 0,5^n
\]

### Пункт 2: Вероятность хотя бы одной попадания
Чтобы найти вероятность того, что стрелок поразит цель хотя бы один раз за \( n \) выстрелов, используем комплементарный подход:
\[
P(\text{попадание за} \, n \, \text{выстрелов}) = 1 - P(\text{промах} \, n \, \text{раз}) = 1 - 0,5^n
\]
Теперь нам нужно, чтобы эта вероятность была не меньше 0,8:
\[
1 - 0,5^n \geq 0,8
\]

### Пункт 3: Решение неравенства
Решим неравенство:
\[
1 - 0,5^n \geq 0,8
\]
Вычтем 1 из обеих сторон:
\[
-0,5^n \geq -0,2
\]
Перемножив обе стороны на -1 и изменив знак неравенства:
\[
0,5^n \leq 0,2
\]
Теперь найдем значение \( n \):
\[
0,5^n = 0,2
\]
Для решения этого уравнения можно воспользоваться логарифмами:
\[
n \cdot \log(0,5) = \log(0,2)
\]
Отсюда:
\[
n = \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)}
\]
Приблизительно вычислим значения логарифмов:
\[
\log(0,2) \approx -0,6990 \quad \text{и} \quad \log(0,5) \approx -0,3010
\]
Теперь подставим их в формулу:
\[
n \approx \frac{-0,6990}{-0,3010} \approx 2,32
\]
Так как \( n \) должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего целого:
\[
n = 3
\]

### Пункт 4: Проверка результатов
Теперь проверим, сколько патронов нужно:
- Для \( n = 3 \):
\[
P(\text{попадание за} \, 3 \, \text{выстрела}) = 1 - 0,5^3 = 1 - 0,125 = 0,875
\]
Это значение больше 0,8, значит, 3 выстрела достаточно.

- Для \( n = 2 \):
\[
P(\text{попадание за} \, 2 \, \text{выстрела}) = 1 - 0,5^2 = 1 - 0,25 = 0,75
\]
Это значение меньше 0,8, значит, 2 выстрела недостаточно.

### Заключение
Таким образом, чтобы стрелок поразил цель с вероятностью не менее 0,8, ему необходимо минимум **3 патрона**. Это решение основано на использовании теории вероятностей и позволяет понять, как даже простые условия ведут к определенным числовым выводам.