Как решить: Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9?

Решение задачи о вероятности перегорания ламп можно разделить на несколько шагов. Давайте разберем это более подробно и шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы имеем три лампы, каждая из которых имеет вероятность перегорания в течение года равную 0,9. Это значит, что в течение года, вероятность того, что лампа не перегорит, составляет 0,1 (или 10%).

Шаг 2: Определение событий
- **Событие A**: Лампа пергорает. Вероятность этого события \( P(A) = 0.9 \).
- **Событие B**: Лампа не перегорает. Вероятность этого события \( P(B) = 1 - P(A) = 0.1 \).

Мы хотим найти вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит. Это можно обозначить как событие \( C \).

Шаг 3: Вычисление противоположного события
Для упрощения расчётов полезно сначала вычислить вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что все три лампы перегорят. Это событие можно обозначить как \( C' \).

# Вероятность события \( C' \):
Так как лампы перегорают независимо, вероятность того, что все три лампы перегорят, равна произведению вероятностей перегорания каждой из них:

\[
P(C') = P(A) \times P(A) \times P(A) = 0.9 \times 0.9 \times 0.9 = (0.9)^3 = 0.729.
\]

Шаг 4: Находим вероятность события \( C \)
Теперь, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит (событие \( C \)), мы можем использовать правило: 

\[
P(C) = 1 - P(C').
\]

Подставим найденное значение:

\[
P(C) = 1 - P(C') = 1 - 0.729 = 0.271.
\]

Шаг 5: Интерпретация результата
Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна из ламп в течение года не перегорит, составляет 0,271, что эквивалентно 27,1%. Это означает, что в большинстве случаев (где одна или несколько ламп остаются рабочими), вероятность срабатывает, и это может оказать влияние на длительность освещения в помещении.

Шаг 6: Общие рассуждения о применении
Понимание таких простых вероятностных задач может быть полезным не только в повседневной жизни (например, при выборе осветительных приборов), но и в более сложных областях, таких как моделирование надежности систем и оценка риска. Вместо расчета для небольшого числа объектов, такие же принципы могут быть применены и для больших систем, что существенно упрощает анализ.

Заключение
Вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит, равна 27,1%. Обращая внимание на свойства независимых событий и простые правила нахождения вероятностей, можно эффективно решать проблемы, связанные с надежностью и доступностью различных систем и компонентов, что в свою очередь может значительно упростить планирование и управление ресурсами.