ЕГЭ Математика, Как решить задачу про мирные договоры между странами?

Для решения задачи о подписании мирных договоров между странами, необходимо рассмотреть условия задачи и использовать принципы комбинаторики. Давайте разобьем задачу на несколько этапов.

### 1. Анализ условий задачи

У нас есть 10 стран, среди которых:
- 7 стран подписали договор о дружбе ровно с 5 другими странами.
- 3 оставшиеся страны подписали договор ровно с 7 другими странами.

### 2. Понятие "договор"

Договор между двумя странами подразумевает, что если страна A подписала договор со страной B, то это также означает, что страна B подписала договор со страной A. Это создаёт ситуацию, в которой каждая пара стран, подписавшая договор, учитывается дважды. Важный момент: каждый договор фиксируется как взаимодействие двух стран, то есть при подсчёте нужно учитывать это дублирование.

### 3. Определение количества подписанных договоров

#### a) Друзья среди первых 7 стран

Для 7 стран, которые подписали договор с 5 другими:
- Каждая из этих 7 стран имеет 5 подписанных договоров.
- Итак, общее количество "первичных" договоров для этих 7 стран будет равно \( 7 \times 5 = 35 \).
- Однако так как каждый договор считается для обеих стран, реальное количество уникальных договоров среди этих 7 стран нужно будет делить на 2. Таким образом,:
\[
\text{Уникальные договоры среди 7 стран} = \frac{35}{2} = 17.5 \text{ (что не может быть, значит некоторые из них пересекаются)}
\]

Задумайтесь: если каждая из этих 7 стран подписала договоры с 5 другими, это может означать, что некоторые страны подписали договоры друг с другом, и всё же количество уникальных связей должно составлять 21.

Для 7 стран, каждая подписавшаяся на 5, них должно получится продублированное количество. 

#### b) Друзья среди 3 оставшихся стран

Теперь обратим внимание на 3 оставшиеся страны, которые подписали договоры ровно с 7 другими странами. Здесь возникает проблема, поскольку с 10 странами в общей сложности каждая из 3 стран может подписать договор с остальными 7, что будет давать больше своих друзей, чем в первоначальной группе из 7 стран. Это может означать, что эти страны пересекаются в пределах связанных.

Это позволяет предположить, что как минимум одна страна из этих трех также могла подписывать более 5. 

### 4. Применение теоремы о графах

Мы можем представить каждую страну как вершину в графе, а договор между странами как рёбра (связи) между этими вершинами. Соответственно, количество рёбер (договоров) в графе заведомо включает всех соседей (диктующих каждую значимую связь).

Общее количество рёбер в графе можно определить по формуле:
\[
\text{Количество рёбер } = \frac{n \times k}{2}
\]
где \( n \) — общее количество стран, а \( k \) — среднее количество договоров.

### Итог

Ключевой шаг здесь заключается в том, чтобы, приняв во внимание все возможные пересечения и связи, прийти к выводу, что общее число подписанных договоров равно 21. 

Таким образом, в ответ на вопрос, сколько всего договоров было подписано, **всего было подписано 21 договор**. Это число учитывает все уникальные пары стран, взаимодействующих друг с другом.