ЕГЭ Математика, Какие утверждения о посещении кружков в школе верные?

Чтобы проанализировать утверждения о посещении кружков, начнем с данных, которые у нас есть: в классе 30 человек, 20 посещают кружок по биологии, 16 – кружок по географии. Для удобства создадим некоторые обозначения:

- Пусть \(A\) – множество учеников, посещающих кружок по биологии.
- Пусть \(B\) – множество учеников, посещающих кружок по географии.

Имеем:

- \(|A| = 20\) (число учеников, посещающих кружок по биологии),
- \(|B| = 16\) (число учеников, посещающих кружок по географии),
- всего учеников в классе \(|U| = 30\).

Теперь применим формулу включений-исключений для определения количества учеников, посещающих оба кружка:

\[
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|,
\]
где \(|A \cup B|\) – общее количество учеников, посещающих хотя бы один из кружков, а \(|A \cap B|\) – количество учеников, посещающих оба кружка.

Так как всего в классе 30 человек, можно сказать, что:

\[
|A \cup B| \leq 30.
\]

Следовательно, подставив наши значения:

\[
30 \geq 20 + 16 - |A \cap B| \implies 30 \geq 36 - |A \cap B| \implies |A \cap B| \geq 6.
\]

Теперь мы можем рассмотреть каждое утверждение.

1) **"Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка."**

Из нашего расчета, мы выяснили, что \(|A \cap B| \geq 6\). Это означает, что в классе есть минимум 6 учеников, посещающих оба кружка. Следовательно, это утверждение верно.

2) **"Если ученик из этого класса ходит на кружок по биологии, то он обязательно ходит на кружок по географии."**

Это утверждение подразумевает полное подмножество: все, кто в \(A\), должны быть и в \(B\). Однако мы знаем, что \(|A| = 20\) и \(|B| = 16\), что делает данное утверждение неверным. Существуют ученики, которые могут посещать только кружок по биологии.

3) **"Каждый ученик из этого класса посещает оба кружка."**

Если бы это было так, то \(|A| = |B| = 30\), что не соответствует данным о числах (20 и 16). Это утверждение также неверно.

4) **"Не найдётся 17 человек из этого класса, которые посещают оба кружка."**

Мы выяснили, что даже минимальное количество учеников, посещающих оба кружка, равно 6. Таким образом, утверждение о наличии 17 человек, посещающих оба кружка, неверно. Это утверждение также верно, так как мы можем быть уверены, что 17 – это больше, чем 6.

Подводя итог, правильные утверждения – это:

1) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. (Верно)
4) Не найдётся 17 человек из этого класса, которые посещают оба кружка. (Верно)

Таким образом, верные утверждения: **14**.