ЕГЭ Математика, Как решить задачу про ленту с поперечными полосками?

Чтобы решить задачу, давайте внимательно рассмотрим условия. У нас есть лента с двумя перекрывающимися полосками – синей и красной. Разрезав ленту по каждой из полосок, мы получаем части разной длины. Давайте обозначим:

- Общую длину ленты - \( L \).
- Расстояние между синей и красной полосками - \( d \) (в сантиметрах).
- Длину части ленты, которая находится ближе к синей полоске, после разреза по синей полоске - \( x \).
- Длину части ленты, которая находится ближе к красной полоске, после разреза по красной полоске - \( y \).

Шаг 1: Сформулируем уравнения

Согласно условиям, при разрезе по красной полоске одна часть длиннее другой на 25 см:
- Если красная полоска находится ближе к одному концу, то длина одной части: \( y + d \) (часть, что ниже красной), а длина второй части: \( x \). По условию задачи мы можем записать:
\[
y + d = x + 25 \tag{1}
\]

При разрезе по синей полоске одна часть длиннее другой на 5 см:
- Здесь части будут, соответственно, \( x + d \) (часть ниже синей полоски) и \( y \). Таким образом, мы можем записать:
\[
x + d = y + 5 \tag{2}
\]

Шаг 2: Перепишем систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):
1. \( y + d = x + 25 \) 
2. \( x + d = y + 5 \)

Шаг 3: Упростим систему

Теперь давайте решим эту систему. Из первого уравнения можем выразить \( y \):
\[
y = x + 25 - d \tag{3}
\]

Подставим (3) во второе уравнение:
\[
x + d = (x + 25 - d) + 5
\]

Раскроем скобки:
\[
x + d = x + 30 - d
\]

Шаг 4: Избавимся от x

Уберем \( x \) с обеих сторон:
\[
d = 30 - d
\]

Преобразуем это уравнение:
\[
2d = 30 \implies d = 15
\]

Шаг 5: Отвечаем на вопрос

Таким образом, расстояние между синей и красной полосками составляет 15 см. Мы решили задачу, используя систему уравнений и замену переменных.

Рассуждения и дополнения

1. Эта задача—замечательный пример на применение систем уравнений для моделирования ситуации.
2. Подобные задачи часто используют в экзаменах, поскольку требуют не только логического мышления, но и навыков алгебры.
3. Важно в подобной задаче внимательно прочитать условия и проводить четкое обозначение переменных, чтобы не запутаться.
4. В реальной жизни подобные задачи могут быть использованы для проектирования различных объектов, например, тканей, пленок и других материалов, где требуется учитывать длину и расстояния.

Таким образом, итоговое расстояние между красной и синей полосками – 15 см.