ЕГЭ Математика, Как найти площадь боковой поверхности треугольной пирамиды?

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, необходимо понимать, что эта площадь составляется из площадей боковых граней. В нашем случае основание пирамиды является правильным треугольником, и боковые грани — треугольники, у которых одной стороной служит сторона основания, а другой — боковое ребро.

### Шаг 1: Находим площадь основания

Так как основание — правильный треугольник со стороной длиной 14, можно использовать следующую формулу для нахождения площади правильного треугольника:

\[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
\]

где \( a \) — длина стороны. Подставляем значения:

\[
S = \frac{14^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{196 \sqrt{3}}{4} = 49 \sqrt{3}
\]

Таким образом, площадь основания треугольной пирамиды равна \( 49 \sqrt{3} \).

### Шаг 2: Находим высоту боковых граней

Каждая боковая грань является треугольником, в котором одна сторона — это сторона основания (длина 14), а две другие стороны — это боковые рёбра длиной 25. Для нахождения площади боковых граней сначала найдем высоту каждого из этих треугольников.

Для нахождения высоты боковой грани, опустим перпендикуляр из вершины пирамиды, которая соединяет верхнюю вершину с центром основания. Центр правильного треугольника находится на расстоянии:

\[
h_{основания} = \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{14 \sqrt{3}}{3}
\]

Расстояние от центра основания до вершины основания (для правильного треугольника) равно:

\[
r = \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{14 \sqrt{3}}{3}
\]

### Шаг 3: Находим высоту боковой треугольной грани

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты боковой грани \( h \) (высота треугольника): 

\[
h^2 + r^2 = 25^2
\]

где \( r = \frac{14 \sqrt{3}}{3} \):

\[
h^2 + \left(\frac{14 \sqrt{3}}{3}\right)^2 = 625
\]

Теперь подставим:

\[
h^2 + \frac{196 \cdot 3}{9} = 625
\]

Сначала вычислим \( \frac{588}{9} = 65.33 \):

\[
h^2 = 625 - 65.33 = 559.67
\]

После этого находим высоту \( h \):

\[
h \approx 23.6
\]

### Шаг 4: Находим площадь одной боковой грани

Площадь боковой грани \( S_{боковой} \) можно найти по формуле:

\[
S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

где \( a \) — это основание бокового треугольника, равное 14, а \( h \) — высота, найденная выше:

\[
S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 23.6 \approx 165.2
\]

### Шаг 5: Общая площадь боковой поверхности

Так как в нашей пирамиде три боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет равна:

\[
S_{боковой\ поверхность} = 3 \cdot S_{боковой} \approx 3 \cdot 165.2 \approx 495.6
\]

### Заключение

Итак, площадь боковой поверхности данной треугольной пирамиды составляет примерно 495.6 квадратных единиц. Мы разбили процесс на четкие шаги, чтобы сделать процесс понятным и доступным для понимания.