Как найти поле бесконечно длинного проводника с током I (Био-Савара)?

Для нахождения магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током I, можно воспользоваться законом Био-Савара. Этот закон связывает величину магнитного поля с током и расстоянием от проводника, и его можно использовать в следующем порядке:

### Шаг 1: Определение системы координат
1. Выберите систему координат. Для удобства можно установить ось z вдоль проводника, а точку, в которой необходимо определить магнитное поле, обозначить как P. Если точка P расположена на расстоянии r от проводника, то её координаты будут (r, 0, 0) в цилиндрической системе координат.

### Шаг 2: Применение закона Био-Савара
2. Запишите закон Био-Савара для магнитного поля **B**, создаваемого элементом тока:
   \[
   d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3}
   \]
   где: 
   - \( \mu_0 \) — магнитная проницаемость вакуума,
   - \( I \) — сила тока,
   - \( d\mathbf{l} \) — элемент проводника, по которому течет ток,
   - \( \mathbf{r} \) — вектор, направленный от элемента тока к точке P.

### Шаг 3: Определение элементарного тока
3. Выберите элемент тока \( d\mathbf{l} \) вдоль проводника. Для прямолинейного проводника удобно взять:
   \( d\mathbf{l} = dz \, \mathbf{e}_z \) , 
   где \( \mathbf{e}_z \) — единичный вектор вдоль оси z.

### Шаг 4: Определение вектора \(\mathbf{r}\)
4. Находите вектор \(\mathbf{r}\), который направлен от точки t к точке P:
   \[
   \mathbf{r} = \mathbf{r_P} - \mathbf{r_t} = (r, 0, 0) - (0, 0, z) = (r, 0, -z)
   \]
   Длина этого вектора равна:
   \[
   r = \sqrt{r^2 + z^2}
   \]

### Шаг 5: Вычисление вектора магнитного поля
5. Теперь подставив все параметры в формулу Био-Савара, получите:
   \[
   d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{dz \, \mathbf{e}_z \times (r, 0, -z)}{(r^2 + z^2)^{3/2}}
   \]

### Шаг 6: Вычисление векторного произведения
6. Выполним векторное произведение. Учитывая, что:
   \[
   \mathbf{e}_z \times (r, 0, -z) = (-z, 0, r)
   \]
   подставьте это значение в выражение для dB.

### Шаг 7: Интегрирование по проводнику
7. Интегрируйте \( d\mathbf{B} \) по всем элементам z от \( -\infty \) до \( \infty \):

   \[
   B = \int_{-\infty}^{\infty} dB = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{(-z, 0, r)}{(r^2 + z^2)^{3/2}} dz
   \]

### Шаг 8: Подсчет
8. Результаты интегрирования дают:
   - Магнитное поле имеет направленность, перпендикулярную как к вектору тока, так и к радиус-вектору от проводника до точки P.
   - С учетом направления и величины, результаты показывают:
   \[
   B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}
   \]

### Итог
9. Финальное магнитное поле, создаваемое бесконечно длинным проводником с током I на расстоянии r, составляет:
   \[
   \mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \mathbf{e}_\phi
   \]
   где \( \mathbf{e}_\phi \) — единичный вектор вдоль направления магнитного поля, согласно правилу правой руки.