Как решить: В классе 21 шестиклассник, среди них два друга - Митя и Петя?

Для решения задачи о вероятности того, что два друга — Митя и Петя — окажутся в разных группах при делении 21 шестиклассника на три группы по 7 человек, можно воспользоваться комбинаторными методами. Давайте разложим решение на несколько шагов.

### Шаг 1: Общее число способов деления класса на группы

Сначала мы определим общее количество способов разделить 21 человека на три группы по 7 человек. Для этого воспользуемся формулой для разбиения множества:

\[
N = \frac{21!}{(7!)^3 \cdot 3!}
\]

Здесь:
- \(21!\) — это факториал количества всех учеников, т.е. всех возможных перестановок.
- \((7!)^3\) — это учитывает перестановки внутри каждой группы (по 7 человек), поскольку порядок в группах не важен.
- \(3!\) — это деление на количество возможных перестановок самих групп, поскольку порядок групп также не имеет значения.

### Шаг 2: Способы представить в одной группе

Теперь определим количество способов разделить класс так, чтобы Митя и Петя оказались в одной группе. Для этого можно сначала выбрать группу, в которую они отправятся, а затем заполнить оставшиеся места в этой группе:

1. **Выбор группы для Мити и Пети:** Для этой группы нам нужны 5 остальных учеников (7 - 2 = 5). 
2. **Выбор 5 учеников из 19 остальных:** Это можно сделать следующим образом:

\[
\binom{19}{5}
\]

3. **Разделение остальных 14 учеников на 2 группы по 7:** Это количество будет равно:

\[
\frac{14!}{(7!)^2 \cdot 2!}
\]

Теперь общее число способов деления так, чтобы Митя и Петя были в одной группе, будет равно:

\[
N_{Митя, Петя} = \binom{19}{5} \cdot \frac{14!}{(7!)^2 \cdot 2!}
\]

### Шаг 3: Вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах

Теперь мы можем вычислить запрашиваемую вероятность. Обозначим её как \(P\):

\[
P = 1 - \frac{N_{Митя, Петя}}{N}
\]

### Шаг 4: Замены и вычисления

Вычислим выражения, которые мы получили. Начнём с вычисления \(N\):

- \(N = \frac{21!}{(7!)^3 \cdot 3!}\)
- Рассчитаем \(N_{Митя, Петя}\):

\[
N_{Митя, Петя} = \binom{19}{5} \cdot \frac{14!}{(7!)^2 \cdot 2!}
\]

### Шаг 5: Подстановка значений и окончательные вычисления

Подставив числовые значения в формулы, подсчитаем в числителе и знаменателе для получения вероятности. Упрощение может потребовать немалых усилий, так как мы имеем дело с большими числовыми значениями. Однако, это возможно.

### Заключение

После проведения расчетов и подстановок вы получите вероятностное значение, которое покажет, какова вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах. Ожидается, что такая вероятность будет значительной, так как разных комбинаций групп, по сравнению с теми случаями, когда они в одной группе, довольно много.

Помимо этого, стоит отметить, что такие задачи часто рассматриваются в рамках теории вероятностей и комбинаторики, что учит нас различным подходам к решению похожих проблем. Это может быть полезно в других областях, таких как статистика и компьютерные науки, где работа с множествами и вероятностями важна для анализа и принятия решений.