Как решить: Площадь полной поверхности конуса равна 35?

Чтобы найти площадь полной поверхности отсечённого конуса, давайте разберёмся с данной задачей поэтапно. Начнём с анализа полной поверхности исходного конуса, а затем проведём необходимые расчёты для отсечённого сегмента.

### 1. Определение параметров полного конуса

Площадь полной поверхности конуса (S) составляется из площади основания и боковой поверхности:

\[
S = S_{основания} + S_{боковая}
\]

Где:
- \( S_{основания} = \pi r^2 \) – площадь основания,
- \( S_{боковая} = \pi r l \) – боковая поверхность,
- \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \) – образующая конуса, где \( r \) – радиус основания, а \( h \) – высота конуса.

### 2. Нахождение параметров исходного конуса

Поскольку площадь полной поверхности конуса равна 35, можем записать уравнение:

\[
\pi r^2 + \pi r l = 35
\]

Это уравнение будет основой для нахождения радиуса и высоты. Однако для упрощения дальнейших расчетов нам не нужно находить конкретные значения \( r \) и \( h \). Мы просто будем использовать соотношения.

### 3. Сечение конуса

Сечение конуса, проведённое параллельно основанию и делящее высоту в отношении 3:2, создаёт новый конус с высотой \( h' \) и основанием, увеличенным в том же масштабе. Высота отсечённого конуса:

\[
h' = \frac{3}{5}h \quad (поскольку \frac{3}{2 + 3} = \frac{3}{5})
\]

### 4. Размеры отсечённого конуса

Радиус основания конуса при сечении изменяется пропорционально высоте:
\[
r' = \frac{3}{5}r
\]

Теперь можно найти площадь полной поверхности отсечённого конуса, обозначив её \( S' \):

\[
S' = \pi (r')^2 + \pi r' l'
\]

Где:
\[
l' = \sqrt{(r')^2 + (h')^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{5}r\right)^2 + \left(\frac{3}{5}h\right)^2} = \frac{3}{5}l
\]

Теперь подставим выражения для \( r' \) и \( l' \) в \( S' \):

\[
S' = \pi \left(\frac{3}{5}r\right)^2 + \pi \left(\frac{3}{5}r\right) \left(\frac{3}{5}l\right)
\]

### 5. Выражение площади полной поверхности отсечённого конуса

Подставляя полученные значения:

\[
S' = \pi \left(\frac{9}{25}r^2\right) + \pi \left(\frac{9}{25}rl\right) = \frac{9}{25} \left( \pi r^2 + \pi rl \right)
\]

С учётом определения полной площади исходного конуса, получаем:

\[
S' = \frac{9}{25} \cdot 35 = 12.6
\]

### 6. Ответ

Таким образом, площадь полной поверхности отсечённого конуса равна **12.6 квадратных единиц**.

### Заключение

Мы рассмотрели все этапы решения задачи, начиная от анализа полного конуса, через вычисление изменяющихся параметров и параллельного сечения, и закончили вычислением полной площади поверхности нового конуса. Таким образом, мы не только нашли ответ, но и разобрали методику шаг за шагом, что способствует лучшему пониманию задачи в целом.