Как решить: Площадь полной поверхности конуса равна 12?

Для решения задачи о площади полной поверхности отсечённого конуса, начнём с анализа исходных данных и необходимых формул.

### Шаг 1: Понимание геометрии конуса

Обозначим:
- \( r \) — радиус основания конуса,
- \( h \) — высота конуса,
- \( l \) — образующая (или высота наклона) конуса, которая связана с радиусом и высотой через теорему Пифагора: 

\[
l = \sqrt{r^2 + h^2}
\]

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади основания и боковой поверхности:

\[
S_{полный} = S_{основания} + S_{боковая} = \pi r^2 + \pi r l
\]

### Шаг 2: Условия задачи

Из условия задачи известно, что полная площадь поверхности конуса равна 12:

\[
\pi r^2 + \pi r l = 12
\]

### Шаг 3: Определение отсечённого конуса

Сечение делит высоту конуса на две равные части. Это значит, что высота отсечённого конуса, основание которого совпадает с верхней частью исходного конуса, будет равна \( h/2 \).

### Шаг 4: Применение теорией подобия

По геометрии мы можем сказать, что новый, отсечённый конус, является подобием исходного. Параметры нового конуса (радиус и высота) будут связаны с исходными. Мы можем рассчитать радиус нового основания \( r' \) через пропорцию:

\[
\frac{r'}{r} = \frac{h/2}{h} \Rightarrow r' = \frac{r}{2}
\]

А высота отсечённого конуса будет равна:

\[
h' = h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2}
\]

### Шаг 5: Площадь полной поверхности отсечённого конуса

Теперь давайте рассчитаем площадь полной поверхности отсечённого конуса (обозначим её \( S' \)):

1. **Площадь основания нового конуса**:

\[
S'_{основания} = \pi (r')^2 = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{\pi r^2}{4}
\]

2. **Длина боковой поверхности нового конуса**:

Для вычисления боковой поверхности нового конуса необходимо найти его новую образующую \( l' \):

\[
l' = \sqrt{(r')^2 + (h')^2} = \sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{r^2 + h^2} = \frac{l}{2}
\]

Следовательно, боковая поверхность отсечённого конуса:

\[
S'_{боковая} = \pi r' l' = \pi \left(\frac{r}{2}\right) \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{\pi r l}{4}
\]

3. **Суммарная площадь полной поверхности отсечённого конуса**:

Исходя из вышеизложенного, мы получаем:

\[
S' = S'_{основания} + S'_{боковая} = \frac{\pi r^2}{4} + \frac{\pi r l}{4} = \frac{1}{4}(\pi r^2 + \pi r l)
\]

### Шаг 6: Вставляем известные значения

Поскольку \( \pi r^2 + \pi r l = 12 \):

\[
S' = \frac{1}{4} \times 12 = 3
\]

### Ответ

Площадь полной поверхности отсечённого конуса равна 3.