Как решить: В сосуде в форме конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты?

Для решения задачи по наполнению конуса с жидкостью, следуем пошагово, чтобы подробно рассмотреть все аспекты:

### Шаг 1: Определяем объем полного конуса

Сначала воспользуемся формулой для объема конуса:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

где \( r \) — радиус основания конуса, \( h \) — высота конуса.

Поскольку уровень жидкости в сосуде достигает 2/3 высоты, можно обозначить высоту конуса, как \( H \). Следовательно, уровень жидкости составляет \( \frac{2}{3}H \).

### Шаг 2: Объем жидкости

Объем жидкости, находящейся в конусе, можно выразить так:

\[
V_{\text{жидкости}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{жидкости}}^2 \left(\frac{2}{3}H\right)
\]

Здесь радиус основания, на уровне 2/3 высоты, обозначен как \( r_{\text{жидкости}} \). Как правило, радиус уровня жидкости будет пропорционален высоте уровня жидкости:

\[
\frac{r_{\text{жидкости}}}{r} = \frac{\frac{2}{3}H}{H} = \frac{2}{3}
\]

Следовательно:

\[
r_{\text{жидкости}} = \frac{2}{3}r
\]

### Шаг 3: Подставляем радиус жидкости

Теперь подставим это значение в объем жидкости:

\[
V_{\text{жидкости}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{3}r\right)^2 \left(\frac{2}{3}H\right)
\]

Преобразуем:

\[
V_{\text{жидкости}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{9}r^2\right) \left(\frac{2}{3}H\right) = \frac{8}{81} \pi r^2 H
\]

### Шаг 4: Связываем с известным объемом

По условию задачи, объем жидкости составляет 144 мл. Таким образом, можем записать:

\[
\frac{8}{81} \pi r^2 H = 144 \text{ мл}
\]

### Шаг 5: Здесь находим полный объем конуса

Теперь найдем полный объем конуса. Используя формулу для объема, подставим значение \( V_{\text{полный}} \):

\[
V_{\text{полный}} = \frac{1}{3} \pi r^2 H
\]

### Шаг 6: Связь объемов

Теперь установим связь между объемами. Так как объем жидкости составляет 2/3 от общего объема конуса, можем записать:

\[
V_{\text{полный}} = \frac{3}{2} V_{\text{жидкости}} = \frac{3}{2} \times 144 \text{ мл} = 216 \text{ мл}
\]

### Шаг 7: Расчет необходимого объема для долива

Теперь мы можем найти, сколько миллилитров жидкости необходимо долить, чтобы полностью наполнить сосуд:

\[
V_{\text{долить}} = V_{\text{полный}} - V_{\text{жидкости}} = 216 \text{ мл} - 144 \text{ мл} = 72 \text{ мл}
\]

### Шаг 8: Итог

Таким образом, для полного заполнения сосуда в форме конуса, необходимо долить **72 мл** жидкости.

### Дополнительные замечания

Важно учитывать, что форма сосуда и соотношение высоты и радиуса являются ключевыми аспектами, которые нужно понимать при решении таких задач. Знание формул для объемов различных фигур и умение их адаптировать к условиям задачи помогают в более глубоких исследованиях. В таких задачах учитывается не только математическая, но и физическая природа рассматриваемых объектов, их свойств и взаимодействий.