Как решить: Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3?

Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 6, нам следует следовать нескольким шагам. Этот процесс включает в себя вычисление площади основания и высоты пирамиды.

### Этап 1: Вычисление площади основания

Правильная шестиугольная пирамида имеет основание в форме правильного шестиугольника. Площадь (S) правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]

где \( a \) — длина стороны шестиугольника. В данном случае, \( a = 3 \):

\[
S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2}
\]

Таким образом, площадь основания нашей пирамиды равна \( \frac{27\sqrt{3}}{2} \).

### Этап 2: Вычисление высоты пирамиды

Чтобы найти объем пирамиды, нам нужно также узнать её высоту (h). Для этого используем треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности основания (r) и боковым ребром (l).

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности (r) вычисляется по формуле:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Подставляя значение \( a = 3 \):

\[
r = \frac{3 \sqrt{3}}{2}
\]

Теперь у нас есть:
- Боковое ребро \( l = 6 \)
- Радиус вписанной окружности \( r = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды. В прямом треугольнике, образованном высотой \( h \), радиусом основания \( r \) и боковым ребром \( l \):

\[
l^2 = h^2 + r^2
\]

Подставим известные значения:

\[
6^2 = h^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2
\]

Решаем уравнение:

\[
36 = h^2 + \frac{27}{4}
\]
\[
h^2 = 36 - \frac{27}{4}
\]
\[
h^2 = \frac{144}{4} - \frac{27}{4} = \frac{117}{4}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{117}{4}} = \frac{\sqrt{117}}{2}
\]

### Этап 3: Вычисление объема пирамиды

Теперь мы можем найти объем (V) правильной шестиугольной пирамиды по формуле:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h
\]

Подставив найденные значения:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{117}}{2}
\]
\[
V = \frac{27\sqrt{3} \cdot \sqrt{117}}{12}
\]
\[
V = \frac{27\sqrt{351}}{12}
\]
\[
V = \frac{9\sqrt{351}}{4}
\]

### Результат

Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды с основанием длиной 3 и боковым ребром 6 равен \( \frac{9\sqrt{351}}{4} \). Это решение иллюстрирует использование геометрических свойств фигур, позволяя нам успешно находить объем трехмерных тел с помощью основных формул и воссоздавая связи между их характеристиками.