Как решить: Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10?

Для решения задачи о нахождении площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды с заданными параметрами, приведем详细ный пошаговый план:

### Этап 1: Анализ структуры правильной шестиугольной пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида состоит из:
- основания (правильного шестиугольника)
- шести треугольных боковых граней, которые соединяются с вершиной пирамиды.

Давайте обозначим:
- a = 10 (длина стороны основания)
- h (высота боковых граней)
- l = 13 (длина бокового ребра)

### Этап 2: Находим высоту боковой грани

Каждая боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником, у которого основание равно стороне основания (10) и боковые стороны равны длине бокового ребра (13). 

Для нахождения высоты боковой грани, используем следующие шаги:
1. В каждом равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам, поэтому половина основания равна \( \frac{10}{2} = 5\).
2. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты h боковой грани:

\[
h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

Подставляем значения:

\[
h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12
\]

Таким образом, высота боковой грани равна 12.

### Этап 3: Находим площадь одной боковой грани

Площадь треугольной боковой грани A можно вычислить по формуле:

\[
A = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60
\]

### Этап 4: Находим общую площадь боковой поверхности

Общая площадь боковой поверхности S состоит из 6 одинаковых боковых граней:

\[
S = 6 \times A = 6 \times 60 = 360
\]

### Этап 5: Итоговый результат

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды с основанием, сторонами которого равны 10, и боковыми ребрами равными 13, составляет:

\[
\boxed{360}
\]

### Дополнительные аспекты

При рассмотрении задачи, следует учитывать:
- взаимосвязь между высотой основания и боковыми ребрами;
- если изменить длину стороны основания, площадь боковой поверхности существенно изменится;
- в дальнейшем, для более сложных фигур следует применять подобные шаги, включая использование тригонометрии и векторной алгебры для более сложных форм.

Разделяя решение на этапы, мы получаем не только ясность в каждом шаге, но и возможность применения таких решений к другим геометрическим фигурам.