Как решить: Площадь полной поверхности цилиндра равна 30?

Давайте разберёмся, как решить эту задачу шаг за шагом.

### 1. Определяемся с формулами

Для начала, вспомним основные формулы, которые нам понадобятся:
- Формула площади полной поверхности цилиндра: 
  \[ S_{cyl} = 2\pi r (r + h) \]
  где \( r \) — радиус оснований цилиндра, а \( h \) — высота цилиндра.

- Формула площади поверхности шара:
  \[ S_{sh} = 4\pi R^2 \]
  где \( R \) — радиус шара.

### 2. Взаимосвязь между цилиндром и вписанным шаром

Значит, в нашем случае шар вписан в цилиндр, и радиус шара совпадает с радиусом основания цилиндра:
\[ R = r \]

Высота цилиндра будет равна диаметру шара:
\[ h = 2R = 2r \]

### 3. Подстановка в формулу площади цилиндра

Теперь подставим выражения для \( h \) и \( R \) в формулу площади полной поверхности цилиндра:
\[
S_{cyl} = 2\pi r (r + h) = 2\pi r (r + 2r) = 2\pi r (3r) = 6\pi r^2
\]

### 4. Установим равенство с известной площадью

Мы знаем, что площадь поверхности цилиндра равна 30:
\[
6\pi r^2 = 30
\]

Теперь можем выразить \( r^2 \):
\[
r^2 = \frac{30}{6\pi} = \frac{5}{\pi}
\]

### 5. Находим радиус шара

Теперь найдём радиус шара \( R \) (который равен \( r \)):
\[
r = \sqrt{r^2} = \sqrt{\frac{5}{\pi}}
\]

### 6. Вычисляем площадь поверхности шара

Теперь подставим найденный радиус в формулу площади поверхности шара:
\[
S_{sh} = 4\pi R^2 = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{5}{\pi}\right) = 4 \cdot 5 = 20
\]

### 7. Ответ

Таким образом, площадь поверхности вписанного шара составляет **20 квадратных единиц**.

### 8. Дополнительные размышления

Если взглянуть на задачу с другой стороны, можно заметить, что такая задача подразумевает понимание отношений между различными геометрическими фигурами. 

1. **Квадраты и окружности**: Площадь цилиндра напрямую связана с умением работать с окружностями, где круглая форма (основания) дополняется прямолинейной (боковой поверхностью).

2. **Идея вписанных фигур**: Задача хорошо иллюстрирует теорему о вписанных фигурах — вписанный шар максимально использует пространство цилиндра.

3. **Применение**: Такие задачи могут быть полезны в практической архитектуре и проектировании, где важно оптимальное использование пространства.

4. **Математика в природе**: Коэффициенты 2 и π широко встречаются в различных природных и инженерных задачах, что делает их изучение особенно важным.

Итак, мы не только нашли искомую площадь, но и рассмотрели важные аспекты, связанные с данной задачей, что способствует глубокому пониманию геометрии в целом.