Сколько выстрелов надо, чтобы вероятность попасть была не менее 0,97?

Чтобы понять, сколько выстрелов необходимо, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97, давайте разобьем задачу на несколько шагов. Мы будем учитывать вероятность успешного уничтожения цели на каждом выстреле и использовать концепцию комплементарной вероятности.

### Шаг 1: Понимание вероятностей

Для начала, представим вероятности уничтожения цели:

1. Вероятность уничтожения цели при первом выстреле, \( P_1 = 0.3 \).
2. Вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле \( P_k = 0.6 \) (для \( k \geq 2 \)).

Следовательно, вероятность не уничтожения цели при первом выстреле будет \( Q_1 = 1 - P_1 = 0.7 \).

### Шаг 2: Комплементарные вероятности

Определим вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов. Мы можем выделить ситуации в зависимости от количества выстрелов:

1. Если цель уничтожена на первом выстреле, то вероятность равна \( P_1 = 0.3 \).
2. Если она не была уничтожена на первом, но уничтожена на втором, это будет \( Q_1 \times P_2 = 0.7 \times 0.6 = 0.42 \).
3. Если она не была уничтожена на двух первых выстрелах, но уничтожена на третьем, будет \( Q_1 \times Q_2 \times P_3 = 0.7 \times 0.4 \times 0.6 = 0.168 \).
4. Можно продолжать подобные вычисления для последующих выстрелов.

Таким образом, обобщая, вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов, записывается как:

\[
Q_n = Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3 \cdots Q_n
\]
где \( Q_i = 1 - P_i \).

### Шаг 3: Определение необходимости достижений

Мы хотим найти такое \( n \), чтобы:

\[
1 - (0.7 \cdot 0.4 \cdot 0.4^{(n-2)} ) \geq 0.97
\]
или
\[
(0.7 \cdot 0.4^{(n-1)} ) \leq 0.03
\]

### Шаг 4: Подсчет

Давайте подставим и начнем от \( n = 1 \):

- Для \( n = 1 \): \( 0.3 \) (достаточно, 0.7 скомпрометировано)
- Для \( n = 2 \): 
\[
1 - (0.7 \cdot 0.4) = 1 - 0.28 = 0.72 \, (не достаточно)
\]

- Для \( n = 3 \):
\[
1 - (0.7 \cdot 0.4^2) = 1 - (0.7 \cdot 0.16) = 1 - 0.112 = 0.888 \, (не достаточно)
\]

- Для \( n = 4 \):
\[
1 - (0.7 \cdot 0.4^3) = 1 - (0.7 \cdot 0.064) = 1 - 0.0448 = 0.9552 \, (не достаточно)
\]

- Для \( n = 5 \):
\[
1 - (0.7 \cdot 0.4^4) = 1 - (0.7 \cdot 0.0256) = 1 - 0.01792 = 0.98208 \, (достаточно!)
\]

### Вывод

Таким образом, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97, требуется совершить **5 выстрелов**. Учитывая, что система должна неоднократно стрелять и учитывая вероятности на каждом этапе, этот расчет позволяет понять необходимое количество выстрелов для выполнения задачи с заданной надежностью.

### Основные моменты
- Понимание вероятностей на каждом этапе.
- Применение комплементарной вероятности для обобщения результатов.
- Пошаговая проверка необходимого количества выстрелов.

Этот подход является основой принятия решений в ситуациях, связанных с вероятностями, и может быть применен в различных областях, таких как психология, страхование и инженерия.