Как решить: В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см?

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой 4 см и длиной диагонали основания 6√2 см, давайте последовательно разберем задачу.

### Шаг 1: Найдем сторону основания пирамиды

Основой нашей пирамиды является квадрат. Диагональ квадрата \(d\) связана с его стороной \(a\) по формуле:

\[
d = a\sqrt{2}
\]

В нашей задаче \(d = 6\sqrt{2}\) см. Подставив это значение в формулу, мы можем найти сторону квадрата:

\[
6\sqrt{2} = a\sqrt{2}
\]

Теперь делим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

\[
a = 6 \text{ см}
\]

### Шаг 2: Найдем площадь основания

Площадь квадрата \(S_b\) можно вычислить по формуле:

\[
S_b = a^2
\]

Подставим найденное значение стороны:

\[
S_b = 6^2 = 36 \text{ см}^2
\]

### Шаг 3: Найдем высоту боковой грани

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, нам нужно знать длину ребра боковой грани. Для этого сначала найдем расстояние от центра квадрата до его вершины. Поскольку основание — это квадрат, его диагонали пересекаются в центре, который находится на расстоянии \( \frac{a}{2} \) от каждой стороны:

\[
R = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ см}
\]

Теперь можно найти длину бокового ребра, используя теорему Пифагора. Боковое ребро \(l\) – это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где одна из катетов – это высота пирамиды \(h = 4\) см, а другой катет – это радиус \(R\):

\[
l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{18 + 16} = \sqrt{34} \text{ см}
\]

### Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности

Площадь одной треугольной боковой грани \(S_t\) можно найти по формуле:

\[
S_t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l
\]

Теперь подставим значения:

\[
S_t = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{34} = 3\sqrt{34} \text{ см}^2
\]

Поскольку у нас 4 таких грани, общая площадь боковой поверхности:

\[
S_{бок} = 4 \cdot S_t = 4 \cdot 3\sqrt{34} = 12\sqrt{34} \text{ см}^2
\]

### Шаг 5: Найдем площадь полной поверхности пирамиды

Полная площадь поверхности \(S_{пол}\) будет равном sum площади основания и площади боковой поверхности:

\[
S_{пол} = S_b + S_{бок}
\]

Подставим наши значения:

\[
S_{пол} = 36 + 12\sqrt{34} \text{ см}^2
\]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет \(36 + 12\sqrt{34} \text{ см}^2\).

### Ответ

Площадь полной поверхности пирамиды равна \(36 + 12\sqrt{34} \text{ см}^2\).