Чему равна сумма 7-значных чисел, получаемых перестановкой цифр от 1 до 7?

Для того чтобы найти сумму всех возможных 7-значных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, нам необходимо проанализировать, сколько раз каждая цифра занимает каждую позицию в различных перестановках. Вот подробный подход к решению:

### 1. Общее количество перестановок

Так как у нас есть 7 уникальных цифр, общее количество перестановок (различных 7-значных чисел) можно вычислить как 7!. 
- \( 7! = 5040 \).

### 2. Важность каждой позиции

Каждое 7-значное число состоит из 7 позиций: миллионы, сотни тысяч, десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки и единицы. Каждая из цифр от 1 до 7 будет занимать каждую из этих позиций одинаковое количество раз из-за симметрии.

### 3. Расчет числа раз, которое занимает каждая цифра в каждой позиции

Каждая цифра находится в каждой позиции ровно \( \frac{7!}{7} = 6! = 720 \) раз. Это происходит потому, что выбор одной цифры для конкретной позиции и перестановка оставшихся 6 цифр дает нам \( 6! \) перестановок.

### 4. Сумма всех цифр

Сумма цифр от 1 до 7:
- \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 \).

### 5. Вклад цифр в сумму всех чисел по позициям

Каждая из позиций имеет свой вес в зависимости от ее места:
- миллионов: \( 10^6 = 1,000,000 \)
- сотен тысяч: \( 10^5 = 100,000 \)
- десятков тысяч: \( 10^4 = 10,000 \)
- тысяч: \( 10^3 = 1,000 \)
- сотен: \( 10^2 = 100 \)
- десятков: \( 10^1 = 10 \)
- единиц: \( 10^0 = 1 \)

### 6. Общая сумма

Теперь мы можем объединить все эти вычисления для каждой позиции:

- Для миллиона: \( 720 \times 1,000,000 \times 28 \)
- Для сотни тысяч: \( 720 \times 100,000 \times 28 \)
- Для десятков тысяч: \( 720 \times 10,000 \times 28 \)
- Для тысячи: \( 720 \times 1,000 \times 28 \)
- Для сотен: \( 720 \times 100 \times 28 \)
- Для десятков: \( 720 \times 10 \times 28 \)
- Для единиц: \( 720 \times 1 \times 28 \)

Сумму можно выразить как:
\[
\text{Сумма} = 720 \times 28 \times (1,000,000 + 100,000 + 10,000 + 1,000 + 100 + 10 + 1)
\]

### 7. Считаем сумму внутри скобок

Сумма всех весов:
- \( 1,000,000 + 100,000 + 10,000 + 1,000 + 100 + 10 + 1 = 1,111,111 \)

### 8. Итоговая сумма

Теперь подставим все в финальную формулу:
\[
\text{Сумма} = 720 \times 28 \times 1,111,111
\]

### 9. Конечный расчет

1. Сначала посчитаем \( 720 \times 28 = 20,160 \).
2. Затем умножим результат на \( 1,111,111 \):
\[
20,160 \times 1,111,111 = 22,487,346,560.
\]

Таким образом, сумма всех различных семизначных чисел, которые можно получить путем перестановки цифр от 1 до 7, равна **22,487,346,560**.