Как вычислить без калькулятора сумму этих дробей: 1/72+ 1/90 1/110 + 1/132?

Чтобы вычислить сумму дробей \( \frac{1}{72} + \frac{1}{90} + \frac{1}{110} + \frac{1}{132} \) без калькулятора, можно воспользоваться следующими шагами:

### Шаг 1: Найти общий знаменатель

Прежде всего, для того чтобы сложить дроби, нам нужен общий знаменатель. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей:

- **Знаменатели:** 72, 90, 110, 132.

### Шаг 2: Разложить на простые множители

Разложим каждый из знаменателей на простые множители:

- \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
- \( 90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
- \( 110 = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 \)
- \( 132 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \)

### Шаг 3: Найти НОК

Теперь для нахождения НОК берем каждый простой множитель в его максимальной степени:

- \( 2^3 \) (из 72)
- \( 3^2 \) (из 72 и 90)
- \( 5^1 \) (из 90 и 110)
- \( 11^1 \) (из 110 и 132)

Таким образом, НОК будет равен:
\[
НОК = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1
\]

### Шаг 4: Вычислить НОК

Теперь вычислим НОК:
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 3^2 = 9 \)
- \( 5^1 = 5 \)
- \( 11^1 = 11 \)

Мы находим НОК:
\[
8 \cdot 9 = 72,
\]
\[
72 \cdot 5 = 360,
\]
\[
360 \cdot 11 = 3960.
\]
Итак, \( НОК(72, 90, 110, 132) = 3960 \).

### Шаг 5: Переписать дроби с общим знаменателем

Теперь переписываем каждую дробь так, чтобы у нее был знаменатель 3960:

1. \( \frac{1}{72} = \frac{55}{3960} \) \( (3960 \div 72 = 55) \)
2. \( \frac{1}{90} = \frac{44}{3960} \) \( (3960 \div 90 = 44) \)
3. \( \frac{1}{110} = \frac{36}{3960} \) \( (3960 \div 110 = 36) \)
4. \( \frac{1}{132} = \frac{30}{3960} \) \( (3960 \div 132 = 30) \)

### Шаг 6: Сложить дроби

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, их можно сложить:
\[
\frac{55 + 44 + 36 + 30}{3960}.
\]

### Шаг 7: Вычислить сумму числителей

Сложим числители:
\[
55 + 44 = 99,
\]
\[
99 + 36 = 135,
\]
\[
135 + 30 = 165.
\]

### Шаг 8: Записать окончательный ответ

Таким образом, сумма дробей равна:
\[
\frac{165}{3960}.
\]

### Шаг 9: Упростить дробь

Теперь упростим дробь. Найдем НОД (наибольший общий делитель) 165 и 3960:
- \( 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \)
- \( 3960 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1 \)

Находим НОД:
- Общие множители: \( 3^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 165.\)

Теперь, упрощаем:
\[
\frac{165 \div 165}{3960 \div 165} = \frac{1}{24}.
\]

### Заключение

Итак, сумма дробей \( \frac{1}{72} + \frac{1}{90} + \frac{1}{110} + \frac{1}{132} = \frac{1}{24}. \)