Чему равна площадь заштрихованного 4-угольника BDEF, если известно (см)?

Для начала давайте разберем условия задачи о треугольнике \(\Delta ABC\) и его медианах, чтобы найти площадь заштрихованного четырехугольника \(BDEF\).

### Шаг 1: Определение параметров треугольника

Видим, что в треугольнике ABC:
- Длина средних линий равна \(12 \, см\), \(16 \, см\) и \(20 \, см\).
- Для названия сторон предполагаем, что \(AB = 20 \, см\), \(BC = 16 \, см\), \(AC = 12 \, см\).

### Шаг 2: Площадь треугольника

Сначала рассчитаем площадь треугольника \(\Delta ABC\) с помощью формулы Герона:
1. Вычислим полупериметр \(p\):
   \[
   p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{20 + 16 + 12}{2} = 24 \, см
   \]

2. Затем найдем площадь \(S\) с помощью формулы:
   \[
   S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
   \]
   где \(a = AC = 12 \, см\), \(b = BC = 16 \, см\), \(c = AB = 20 \, см\):
   \[
   S = \sqrt{24 \cdot (24-12) \cdot (24-16) \cdot (24-20)} = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 4} = \sqrt{9216} = 96 \, см^2
   \]

### Шаг 3: Медианы треугольника

Медиана делит треугольник на два подотрезка, каждый из которых имеет равные площади. Поскольку медианы делят треугольник на 6 равных частей, площадь каждого из шести треугольников составляет:
\[
\frac{S}{3} = \frac{96}{3} = 32 \, см^2
\]

### Шаг 4: Площадь четырехугольника \(BDEF\)

Точка \(E\) — это центр масс треугольника. Четырехугольник \(BDEF\), образованный медианами, будет состоять из четырех треугольников, расположенных вокруг точки \(E\). 

Известно, что:
1. Каждый из четырех треугольников \(ABE\), \(BCE\), \(CDE\) и \(DAE\) имеет площадь равную \(32 \, см^2\).
2. Площадь четырехугольника \(BDEF\) будет равна площади двух из этих треугольников, то есть:
\[
S_{BDEF} = S_{ABE} + S_{CDE} = 32 + 32 = 64 \, см^2
\]

### Шаг 5: Сводная информация
Окончательно, площадь заштрихованного четырехугольника \(BDEF\) равна \(64 \, см^2\). 

### Заключение
Таким образом, протратив время на вычисления и анализ треугольника, мы определили, что заштрихованный четырехугольник \(BDEF\) составляет ровно половину площади всего треугольника, благодаря свойствам медиан и их пересечении в одной точке. Этот расчет является важным не только с математической точки зрения, но и полезен в практическом применении, например, для оптимизации площадей в архитектуре или дизайне.