Как найти все нат. числа n, для каждого из которых число (n+1)!-n кратно..?

Начнём с анализа задачи, чтобы найти все натуральные числа \( n \), для которых выполняется условие: 

\[
(n+1)! - n \text{ кратно } (n! + n + 1.
\]

**Шаг 1: Упростим выражения.**

Запишем \( (n+1)! \):

\[
(n+1)! = (n+1) \cdot n! 
\]

Таким образом, данное выражение можно переписать как:

\[
(n+1)! - n = (n+1) \cdot n! - n = (n+1) n! - n.
\]

Теперь мы упростим правую часть (должный делитель):

\[
n! + n + 1.
\]

**Шаг 2: Приведём всё к общему виду.**

Теперь нам нужно проверить, будет ли \( (n+1) n! - n \) кратно \( n! + n + 1 \) или, в более формальном виде:

\[
(n+1) n! - n \equiv 0 \mod (n! + n + 1).
\]

**Шаг 3: Проверяем условие кратности.**

Для лучшего понимания работы с обеими частями, представим, что \( d = n! + n + 1 \). Теперь мы должны выяснить, при каких \( n \) выражение \( (n+1) n! - n \) делится на \( d \).

Из этого не очень простого уравнения мы можем извлечь различные значения \( n \) и исследовать, как они влияют на кратность.

**Шаг 4: Подбор значений для проверки.**

Чтобы проверить, какие значения \( n \) удовлетворяют условию, попробуем подставлять натуральные числа, начиная с \( n = 1 \):

1. **Для \( n = 1 \):**
   - Левое выражение:
     \[
     (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1.
     \]
   - Правое выражение:
     \[
     1! + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.
     \]
   - \( 1 \) не кратно \( 3 \).

2. **Для \( n = 2 \):**
   - Левое выражение:
     \[
     (2+1)! - 2 = 3! - 2 = 6 - 2 = 4.
     \]
   - Правое выражение:
     \[
     2! + 2 + 1 = 2 + 2 + 1 = 5.
     \]
   - \( 4 \) не кратно \( 5 \).

3. **Для \( n = 3 \):**
   - Левое выражение:
     \[
     (3+1)! - 3 = 4! - 3 = 24 - 3 = 21.
     \]
   - Правое выражение:
     \[
     3! + 3 + 1 = 6 + 3 + 1 = 10.
     \]
   - \( 21 \) не кратно \( 10 \).

4. **Для \( n = 4 \):**
   - Левое выражение:
     \[
     (4+1)! - 4 = 5! - 4 = 120 - 4 = 116.
     \]
   - Правое выражение:
     \[
     4! + 4 + 1 = 24 + 4 + 1 = 29.
     \]
   - \( 116 \) не кратно \( 29 \).

5. **Для \( n = 5 \):**
   - Левое выражение:
     \[
     (5+1)! - 5 = 6! - 5 = 720 - 5 = 715.
     \]
   - Правое выражение:
     \[
     5! + 5 + 1 = 120 + 5 + 1 = 126.
     \]
   - \( 715 \) не кратно \( 126 \).

... 

**Шаг 5: Обобщение и вывод.**

Исследуя значения вплоть до \( n = 6, 7, \) и \( 8 \), можно заметить, что не находя кратности, становится логичным предположить, что данная зависимость делимости не выполняется для малых натуральных чисел. По итогу, видимость последней проверки выражения показывает, что:

\[
(n+1)! - n \text{ не кратно } (n! + n + 1 \text{ для } n \geq 1.
\]

Таким образом, все натуральные числа \( n \) при выполнении условия находятся под ограничением, вероятно, нет таких \( n \) для которых такая кратность может выполняться. 

**Итог:** Можно заключить, что ни одно из рассматриваемых натуральных чисел не удовлетворяет данному условию, что подразумевает, что **нет таких чисел \( n \)**.