Как найти объём многогранника, тетраэдра15 ДТ=2ТС Через А иТ плоскость//ВМ?

Чтобы найти объем меньшего из двух многогранников, на которые плоскость, проходящая через точки A и T, делит тетраэдр ABCD, давайте разобьем задачу на несколько этапов.

### 1. Исходные данные и обозначения
- Объем тетраэдра ABCD \( V_{ABCD} = 15 \).
- На ребре CD выбрана точка T, так что \( DT = 2TC \). Это означает, что точка T разбивает отрезок CD на части в соотношении 2:1.
- Плоскость проходит через точки A и T и параллельна медиане BM.

### 2. Определение координат точек
Для удобства вычислений можно определить координаты точек. Пусть:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(0, 0, b) \)
- \( C(0, c, 0) \)
- \( D(d, 0, 0) \)

Чтобы найти координаты точки T, заметим, что если \( CD \) - это отрезок между точками C и D, его длина можно выразить следующим образом:
- \( T \) делит отрезок \( CD \) в соотношении 2:1, значит \( CT = \frac{1}{3} CD \) и \( DT = \frac{2}{3} CD \).

### 3. Нахождение точки T
Расставим координаты точек:
- \( C(0, c, 0) \)
- \( D(d, 0, 0) \)

Тогда координаты точки T можно найти по следующей формуле, используя деление отрезка в заданных отношениях:
\[
T = \frac{2D + 1C}{3} = \left( \frac{2d + 0}{3}, \frac{0 + c}{3}, \frac{0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{2d}{3}, \frac{c}{3}, 0 \right)
\]

### 4. Уравнение плоскости
Плоскость, проходящая через точки A и T и параллельная медиане BM, имеет вектор нормали, перпендикулярный вектору BM. Для нахождения медианы \( M \), использующей точки B и C:
\[
M = \left( 0, \frac{c}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
Вектор BM:
\[
BM = M - B = \left( 0, \frac{c}{2}, \frac{b}{2} - b \right) = \left( 0, \frac{c}{2}, -\frac{b}{2} \right)
\]
Для нахождения уравнения плоскости через точки A и T нужно использовать векторное произведение.

### 5. Разделение объема
Плоскость делит тетраэдр ABCD на два многогранника. Чтобы найти объем меньшего из них, обратимся к свойству, что объем 3D фигуры будет делиться в том же отношении, как и основание. Так как \( DT = 2TC \) то соотношение объемов будет таким, что:

- \( VO \) - объем одного многогранника
- \( V_{ATC} = \frac{1}{3}V_{ABCD} = 5 \),
- \( V_{BMT} = \frac{2}{3}V_{ABCD} = 10 \) (в случае, если \( A \) находится ближе к \( T \)).

### 6. Заключение
Итак, объем меньшего из двух многогранников, на которые делит плоскость тетраэдр ABCD, равен 5. Предполагаем, что меньший объем — это тот, который содержит точку A.

Таким образом, окончательно, меньший объем многогранника составляет 5.