Как решать системы неравенств с корнями?

Решение систем неравенств с корнями может быть непростой задачей. Рассмотрим ваш пример более подробно, следуя определённой структуре, чтобы выявить все шаги и ограничения.

### Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

В первую очередь, необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) для корня:

\[
x^2 + 2x - 8 \geq 0
\]

Решаем неравенство, находя корни:

\[
(x + 4)(x - 2) \geq 0
\]

Корни: \(x = -4\) и \(x = 2\). На основе тестирования промежутков:

1. \(x < -4\): выбираем \(x = -5\) → \((-5 + 4)(-5 - 2) = ( -1)(-7) \geq 0\) (истинно)
2. \(-4 < x < 2\): выбираем \(x = 0\) → \((0 + 4)(0 - 2) = (4)(-2) < 0\) (ложно)
3. \(x > 2\): выбираем \(x = 3\) → \((3 + 4)(3 - 2) = (7)(1) \geq 0\) (истинно)

Таким образом, ОДЗ: 

\[
x \leq -4 \quad \text{или} \quad x \geq 2
\]

### Шаг 2: Анализ неравенств

Теперь рассмотрим два неравенства:

1. \(1 + \sqrt{x^2 + 2x - 8} > x + 4\)
2. \(1 - \sqrt{x^2 + 2x - 8} < -x - 2\)

#### Первое неравенство:

Переписываем его:

\[
\sqrt{x^2 + 2x - 8} > x + 3
\]

Квадратируем обе части (помня, что это может вводить лишние корни):

\[
x^2 + 2x - 8 > (x + 3)^2
\]

Раскрываем скобки:

\[
x^2 + 2x - 8 > x^2 + 6x + 9
\]

Сокращаем \(x^2\):

\[
2x - 8 > 6x + 9
\]

Переносим все члены, относящиеся к \(x\), и константы в одну сторону:

\[
-4x > 17 \Rightarrow x < -\frac{17}{4}
\]

Поскольку \(-\frac{17}{4} \approx -4.25\), и это значение меньше \(-4\), оно удовлетворяет ОДЗ. Теперь у нас есть часть решения: \(x < -\frac{17}{4}\) при \(x \leq -4\).

#### Второе неравенство:

Переписываем его:

\[
-\sqrt{x^2 + 2x - 8} < -x - 3 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 2x - 8} > x + 3
\]

Здесь видно, что это неравенство совпадает с первым. То есть, оно не добавляет новых условий.

### Шаг 3: Объединение решений

Теперь надо рассмотреть, какие значения \(x\) удовлетворяют обоим неравенствам. Из первого неравенства вы нашли, что:

\[
x < -\frac{17}{4}
\]

Из ОДЗ: 

\[
x \leq -4 \quad \text{или} \quad x \geq 2
\]

Учитывая, что \(-4 < -\frac{17}{4}\), область значений для первого неравенства:

\[
x \leq -4
\]

Таким образом, окончательное решение системы:

\[
x \leq -4
\]

### Заключение

Проблема заключается в том, что второе неравенство, хотя и формально отличается от первого, по сути оказывается эквивалентным, и не вводит новых ограничений. Таким образом, потеря второго ограничения происходит из-за логической связи между неравенствами, что требует внимательного изучения каждого из них и их взаимосвязи.