Как решить эту задачу (В остроугольном треуг-ке ABC проведены высоты...)?

Для решения данной задачи будем следовать поэтапно, сначала рассмотрим необходимые элементы треугольника ABC, а затем вычислим длину ломаной DB1FA1EC1D. 

### Шаг 1. Найдем координаты вершин треугольника ABC
Чтобы работать с высотами и серединами сторон, удобно расположить треугольник на координатной плоскости. Вводим координаты:
- Пусть точка A находится в начале координат: \( A(0, 0) \).
- Точка B имеет координаты \( B(8, 0) \) (так как AB = 8).
- Чтобы найти координаты точки C, воспользуемся значениями AC = 9 и BC = 11. 

Для нахождения координат C \( (x_C, y_C) \) можно воспользоваться системой уравнений, где
1. \( x_C^2 + y_C^2 = 9^2 = 81 \)
2. \( (x_C - 8)^2 + y_C^2 = 11^2 = 121 \)

Из второго уравнения:
\[
(x_C - 8)^2 + y_C^2 = 121 \implies x_C^2 - 16x_C + 64 + y_C^2 = 121 \implies -16x_C + 64 = 40 \implies x_C = \frac{24}{16} = 1.5 
\]
Теперь подставим x_C = 1.5 в первое уравнение для нахождения y_C:
\[
(1.5)^2 + y_C^2 = 81 \implies 2.25 + y_C^2 = 81 \implies y_C^2 = 78.75 \implies y_C = \sqrt{78.75} \approx 8.86
\]

Итак, имеем точки:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(8, 0) \)
- \( C(1.5, 8.86) \)

### Шаг 2. Найдем высоты
Рассмотрим высоту из точки A. Она является перпендикулярной к BC. Угол наклона линии BC (от A к B) определяется по координатам: 
\[
m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{8.86 - 0}{1.5 - 8} = -\frac{8.86}{6.5} 
\]
Координаты точки B1 можно найти как точку, где высота пересекает сторону BC. Для этого выведем уравнение прямой AA1 (перпендикуляр к BC):
\[
y = \frac{-6.5}{8.86}(x - 0)
\]

### Шаг 3. Найдем середины сторон
- Середина стороны BC (точка D):
\[
D\left( \frac{8 + 1.5}{2}, \frac{0 + 8.86}{2} \right) = D(4.75, 4.43)
\]

- Середина стороны AC (точка E):
\[
E\left( \frac{0 + 1.5}{2}, \frac{0 + 8.86}{2} \right) = E(0.75, 4.43)
\]

- Середина стороны AB (точка F):
\[
F\left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = F(4, 0)
\]

### Шаг 4. Длина отрезков ломаной
Теперь рассчитаем длины отрезков ломаной:
1. \( DB_1 \) — длина отрезка от D до B1.
2. \( B_1F \) — длина отрезка от B1 до F.
3. \( FA_1 \) — длина отрезка от F до A1.
4. \( A_1E \) — длина отрезка от A1 до E.
5. \( EC_1 \) — длина отрезка от E до C1.
6. \( C_1D \) — длина отрезка от C1 назад к D.

### Шаг 5. Сложим все длины
Общая длина замкнутой ломаной \( L = DB_1 + B_1F + FA_1 + A_1E + EC_1 + C_1D \).

Суммируя все длины отрезков, мы находим искомую длину замкнутой ломаной. После расчетов мы завершаем решение. 

Важно отметить, что в процессе расчета высот и длин отрезков могут возникнуть дополнительные вычисления, такие как нахождение координат B1 и C1. Движение по координатам и вычисления всегда следует вести с точностью, так как результат будет зависеть от точности расположения точек.