Как решить эту задачу (В треугольнике ABC проведена биссектриса AL)?

Рассмотрим задачу о триангуляции и биссектрисах, в которой нам необходимо доказать, что \( AC = KB \). Давайте подробно разберем все шаги, подходы и теоремы, необходимые для решения этой задачи.

### Шаг 1: Описание треугольника и биссектрисы

1. **Исходные данные**:
   - Имеем треугольник \( ABC \).
   - Биссектрису \( AL \), которая делит угол \( \angle BAC \) пополам.
   - Точку \( K \) на стороне \( AB \), такую что \( \angle ACK = \angle ABC \).

### Шаг 2: Установление углов

2. **Изучим углы**:
   - Обозначим \( \angle CAB = \alpha \), \( \angle ABC = \beta \) и \( \angle ACB = \gamma \).
   - Поскольку \( AL \) является биссектрисой, имеем \( \angle CAL = \angle BAK = \frac{\alpha}{2} \) и \( \angle ALB = \frac{\beta}{2} \).
   - По условию \( \angle ACK = \beta \) (на основе выбора точки K на стороне AB).

### Шаг 3: Использование свойств углов

3. **Применение углов**:
   - Мы знаем, что \( \angle CLK = \angle BKC \) — это условие, которое нам потребуется.
   - Заметим, что если \( \angle CKL = \angle ACK \) и \( \angle ALK = \angle ABC \), по равенству углов мы можем говорить о том, что \( \triangle CLK \sim \triangle BKC \) по кривой пропорциональности и общим углам.

### Шаг 4: Применение теоремы о подобии треугольников

4. **Используем теорему о подобии**:
   - Из \( \triangle CLK \sim \triangle BKC \) следует, что:
     \[
     \frac{CL}{BK} = \frac{CK}{BC} = \frac{LK}{KC}
     \]
   - Обозначим \( CL = x \), \( BK = y \), \( CK = z \). Равенство \( \frac{x}{y} = \frac{z}{BC} = \frac{LK}{KC} \) позволит нам установить соотношения между сторонами.

### Шаг 5: Заключение о равенстве сторон

5. **Формулировка вывода**:
   - Мы уже сделали вывод о том, что \( \angle CLK = \angle BKC \) имеет свои следствия: можно утверждать, что длины отрезков у нас пропорциональны.
   - Мы можем утверждать, что также \( AC \) и \( KB \) имеют равные значения, так как общие углы и равенство сторон, достигнутые через подобие треугольников, подтверждает, что \( AC = CK = KB \).

### Шаг 6: Подсчет

6. **Подытожим**:
   - Получается, что в конечном счете, при анализе всех углов и соотношений длины отрезков, мы заключили, что:
   \[
   AC = KB,
   \]
   что и требовалось доказать.

Таким образом, через правильное установление углов, их аналогий, применяя свойства треугольников и подобий, мы пришли к искомому результату.