Как решить эту задачу (В одной стране 1000 городов, любые 2 из которых...)?

Решение задач такого рода требует глубокого понимания теории графов и сочетаний, так как мы имеем дело с графом, представляющим сеть дорог между городами. Поскольку у нас есть 1000 городов, любой из городов соединен с любыми другими, это можно представить в виде полного графа \(K_{1000}\).

### 1. Структура графа
Первое, что стоит понять, это количество дорог (ребер) в графе \(K_{1000}\). Каждый город соединен с \(999\) другими, поэтому общее количество дорог можно вычислить по формуле для полного графа:

\[
E = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{1000 \times 999}{2} = 499500
\]

Таким образом, у нас начинается с \(499500\) дорог.

### 2. Циклы и закрытие дорог
Задача утверждает, что каждый год закрывается одна из дорог, входящая в цикл четного числа дорог. Важно заметить, что если у нас есть цикл четной длины, то, по правилам, подряд можно закрывать дороги, и количество оставшихся дорог остается четным. 

- Например, если у нас есть цикл из \(4\) дорог (A-B-C-D-A), и мы закрываем одну из них, остаются \(3\) дороги. Затем, если мы снова закроем одну из оставшихся дорог, оставшихся будет всего \(2\), и так далее. После каждого закрытия дорог число оставшихся дорог, входящих в цикл, меняется на \(1\) (то есть \(E\) становится \(E-1\)), но данный изначальный цикл не дает возможности перейти к нечетному количеству оставшихся дорог без нарушения свойства четности.

### 3. Число дорог после закрытия
Каждый год мы убираем по одной дороге из четного цикла, следовательно, если изначально имеем четное количество дорог и продолжаем закрывать из четного цикла, то общее количество оставшихся дорог также останется четным.

#### Пример:
- Начальное количество дорог \(E = 499500\) (четное).
- Если после нескольких лет у нас, предположим, осталось \(X\) дорог, потому что мы закрыли n дорог, и каждая из них была частью четного цикла, то: 
  \[
  X = 499500 - n
  \]
  Если \(n\) четно - \(X\) останется четным, если нечетно - \(X\) станет нечетным.

### 4. Вопрос: Может ли остаться ровно 999 дорог?
Теперь попробуем применить анализ к нашему вопросу. Поскольку \(499500\) — четное число, и мы убираем по одной дороге из четных циклов, к моменту, когда мы уберем достаточно дорог, количество оставшихся дорог останется четным.

Важно отметить, что \(999\) — нечетное число. Мы не можем прийти к нечетному количеству дорог, начиная с четного. Следовательно, удалить достаточно дорог, чтобы остаться на \(999\), физически невозможно.

### 5. Заключение
В конечном счете, ответ на заданный вопрос - **нет**, не может остаться ровно \(999\) дорог. Общее количество дорог в графе после последовательной потери дорог из четных циклов всегда сохраняет четность, что приводит к выводу, что нельзя закончить с нечетным числом дорог из четного, начиная с четного. Таким образом, в результате, поддерживается логика, что сохранение четного числа дорог при подобном порядке закрытия является неизменным свойством данной структуры.