Как решить эту задачу по алгебре (Перечислите все тройки натуральных...)?

Чтобы решить задачу о нахождении всех тройок натуральных чисел \(a\), \(b\), \(c\), которые являются простыми, при этом удовлетворяющими условию, что выражение \(a^4 + b^4 + c^4 - 3\) также является простым, мы можем последовательно выполнить несколько шагов анализа.

### Шаг 1: Определение диапазона простых чисел

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самих себя. Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Мы ограничимся, пожалуй, первыми несколькими простыми числами, поскольку для больших значений \(a\), \(b\) и \(c\) значение \(a^4 + b^4 + c^4\) будет значительно возрастать.

### Шаг 2: Исследование пар и формулы

Выражение для проверки:
\[ 
P = a^4 + b^4 + c^4 - 3 
\]
чтобы \(P\) было простым. Наша задача сводится к тому, чтобы подставить различные комбинации простых чисел для \(a\), \(b\) и \(c\).

### Шаг 3: Простой анализ

1. Пробуем использовать 2 в качестве одного из чисел:
   - Если взять \(a = b = c = 2\):
     \[
     P = 2^4 + 2^4 + 2^4 - 3 = 48 - 3 = 45 \quad (\text{не простое})
     \]
   - Если один из чисел 2, а другие 3:
     \[
     P = 2^4 + 3^4 + 3^4 - 3 = 16 + 81 + 81 - 3 = 175 \quad (\text{не простое})
     \]
   - Продолжаем перебор.

2. Исследуем комбинации чисел 3, 5, 7:
   - \(a = b = c = 3\):
     \[
     P = 3^4 + 3^4 + 3^4 - 3 = 243 - 3 = 240 \quad (\text{не простое})
     \]
   - \(a = 3, b = 3, c = 5\):
     \[
     P = 3^4 + 3^4 + 5^4 - 3 = 243 + 243 + 625 - 3 = 1108 \quad (\text{не простое})
     \]
   
3. Будем искать уникальные комбинации:
   - \(a = 3, b = 5, c = 7\):
     \[
     P = 3^4 + 5^4 + 7^4 - 3 = 81 + 625 + 2401 - 3 = 3104 \quad (\text{не простое})
     \]

### Шаг 4: Оптимизация перебора

Простой анализ показывает, что для чисел 2 и 3 сложность условия существенно возрастает. Мы можем попытаться ограничить \(c\):
- Пробуем тройки, где \(c\) значительно меньше двух других чисел, и смотрим, которые из них дают простые:

### Шаг 5: Заключение

На основе проведенного анализа, дальнейшие попытки с использованием малых простых чисел не дали теперешних результата:

- При \(a = 2\), \(b = 2\), \(c= 5\) как пример:
  \[
  P = 2^4 + 2^4 + 5^4 - 3 = 16 + 16 + 625 - 3 = 654 \quad (\text{не простое})
  \]

### Итог:

Из всех перебров и предложенных комбинаций, скорее всего, не существует тройки простых чисел \(a\), \(b\), \(c\), которые бы удовлетворяли данному условию. Этот анализ показывавает, насколько сложна задача нахождения таких тройк, которую можно могли бы рассмотреть с разных математических сторон, но, увы, при текущем наборе простых чисел удовлетворяющих условию не было найдено. 

Таким образом, ожидаемая итоговая троица таких чисел отсутствует.