Как решить эту задачу (Что >: 1001^1001+999^999 или 1001^999+999^1001)?

Решение задачи о сравнении двух выражений: \(1001^{1001} + 999^{999}\) и \(1001^{999} + 999^{1001}\) можно выполнить с помощью анализа их отдельных составляющих. Давайте рассмотрим этот вопрос поэтапно.

### Шаг 1: Сравнение членов

Сравним два выражения по отдельным элементам:

1. **Члены с \(1001\)**:
   - \(1001^{1001}\)
   - \(1001^{999}\)

   Здесь \(1001^{1001}\) явно больше, чем \(1001^{999}\), поскольку мы возводим число в большее значение показателя степени (в данном случае 1001 > 999).

2. **Члены с \(999\)**:
   - \(999^{999}\)
   - \(999^{1001}\)

   Аналогично, \(999^{1001}\) больше, чем \(999^{999}\), так как здесь также показывается больший показатель степени.

### Шаг 2: Сравниваем выражения

Теперь соберем информацию, которую мы получили на предыдущем этапе:

- \(1001^{1001} > 1001^{999}\)
- \(999^{1001} > 999^{999}\)

### Шаг 3: Подход к выражениям

Это позволяет предположить, что \(1001^{1001} + 999^{999}\) может быть больше, чем \(1001^{999} + 999^{1001}\). Однако, эта неочевидная ситуация требует более детального анализа.

### Шаг 4: Переписываем и упрощаем

Чтобы сделать это сравнение более явным, перепишем разность:

\[
(1001^{1001} - 999^{1001}) - (1001^{999} - 999^{999})
\]

### Шаг 5: Факторизация

Мы можем внести общие множители:

\[
(1001^{999}(1001 - 999) - 999^{999}(999 - 1001))
\]

Упростим это до:

\[
(1001^{999} \cdot 2 - 999^{999} \cdot (-2)) = 2(1001^{999} + 999^{999})
\]

### Шаг 6: Оценка разности

Теперь у нас есть пояснение, что эта разность положительна, т.к. и \(1001\), и \(999\) положительные числа. Мы увидели, что оба выражения являются суммами положительных множителей, а также что множители \(1001^{999}\) и \(999^{999}\) значительно больше нуля.

### Шаг 7: Итоговая оценка

Таким образом, мы пришли к выводу, что второе выражение \(1001^{1001} + 999^{999}\) больше первого \(1001^{999} + 999^{1001}\).

### Заключение

Наконец, ответ на начальный вопрос:

\[ 
1001^{1001} + 999^{999} > 1001^{999} + 999^{1001} 
\]

Итак, следует помнить, что доскональный анализ выражений и действий с числами степени всегда дают возможность более глубже понять проблемы математики, от простых до более сложных. Этот анализ также демонстрирует важность вычислительных свойств и структурных различий в выражениях, что может быть полезно в дальнейшем изучении.