Принято ли избавляться от дробных чисел, если они под модулем? Почему?

Избавление от дробных чисел при решении уравнений с модулями – вопрос, действительно, деликатный и часто вызывает споры среди математиков и студентов. Давайте разберем его подробнее, следуя определённой логике.

### 1. Понимание модулей

Модуль – это функция, которая возвращает значение, равное числу, если оно положительное, и противоположное значение, если отрицательное. Поэтому, когда перед нами стоит уравнение с модулем, нам нужно помнить, что знак модуля может кардинально изменить характер уравнения.

### 2. Устранение дробей

**А. Свойства дробей.** Важно понимать, что дроби в уравнении могут усложнять процесс решения, но если дробь не равна нулю, умножение на общее кратное не изменит общий характер уравнения. Однако, если вы умножаете обе стороны на выражение, содержащие переменную, нужно быть осторожным, чтобы не внести лишние решения при умножении или делении на выражение, которое может быть равно нулю.

**Б. Модули и дроби.** Когда у нас есть знак модуля, это создает необходимость рассматривать различные случаи в зависимости от знака выражения внутри модуля. Избавление от дробей может помочь упростить анализ, но может и затруднить его, если вы потеряете контроль над возможными знаками, особенно учитывая, что модули не допускают отрицательных значений.

### 3. Решение вашего уравнения

Давайте попробуем решить ваше уравнение:

\[ |1.5y^2 - 1| = -2.25y^2 + 3 - \frac{1}{y^2} \]

**Шаг 1: Анализ уравнения без модуля.**

Поскольку правая сторона уравнения содержит дробь, целесообразно избавиться от дробей. Умножим обе стороны уравнения на \( y^2 \) (при условии, что \( y \neq 0 \)):

\[ y^2 |1.5y^2 - 1| = y^2(-2.25y^2 + 3 - \frac{1}{y^2}) \]

Ставим это уравнение в рабочую форму:

\[ y^2 |1.5y^2 - 1| = -2.25y^4 + 3y^2 - 1 \]

**Шаг 2: Рассмотрение случаев.**

1. **Случай 1**: \( 1.5y^2 - 1 \geq 0 \) (т.е. \( y^2 \geq \frac{2}{3} \)):
   \[
   y^2(1.5y^2 - 1) = -2.25y^4 + 3y^2 - 1
   \]
   Преобразуем и собираем все в одну сторону.

2. **Случай 2**: \( 1.5y^2 - 1 < 0 \) (т.е. \( y^2 < \frac{2}{3} \)):
   В этом случае:
   \[
   y^2(-1.5y^2 + 1) = -2.25y^4 + 3y^2 - 1
   \]
   Также приведем к общему виду.

**Шаг 3: Решение и проверка.**

После работы с обеими частями уравнения находим корни и проверяем их на принадлежность к исходным условиям (включая ограничения от модуля).

### 4. Заключение

Несмотря на соблазн избавиться от дробей ради упрощения, решение уравнения с модулями требует тщательного анализа знакомых условий. Убедитесь, что вы не теряете важные случаи. Сложность уравнений с модулями всегда требует внимания к деталям и различным условиям. 

Помните: умножение на выражение и избавление от дробей может облегчить решение, но только если сделано правильно с учетом всех условий задачи! Удачи в ваших математических исканиях!