Как решить: Саша нашел остатки от деления некоторого числа на 302(см)?

Для того чтобы понять, могут ли суммы остатков от деления некоторого числа на выбранные Сашей и Тая числа отличаться на 777, давайте разберемся с этой задачей по пунктам.

### 1. Определение остатков
Сначала обозначим наше число, которое нашли Саша и Тая, как \( x \).

- Саша находит остатки от деления \( x \) на 302, 303 и 304. Обозначим их как \( r_{302}, r_{303}, r_{304} \) соответственно:
  \[
  r_{302} = x \mod 302, \quad r_{303} = x \mod 303, \quad r_{304} = x \mod 304
  \]
  
- Тая находит остатки от деления \( x \) на 100, 101 и 102. Обозначим эти остатки как \( r_{100}, r_{101}, r_{102} \):
  \[
  r_{100} = x \mod 100, \quad r_{101} = x \mod 101, \quad r_{102} = x \mod 102
  \]

### 2. Суммы остатков
Теперь мы можем записать суммы остатков:
- Саша:
  \[
  S_S = r_{302} + r_{303} + r_{304}
  \]
- Тая:
  \[
  S_T = r_{100} + r_{101} + r_{102}
  \]

### 3. Проверка условия разности
Теперь необходимо проверить, могут ли суммы \( S_S \) и \( S_T \) отличаться на 777:
\[
|S_S - S_T| = 777
\]

### 4. Анализ разностей остатков
Остатки от деления могут принимать значения от \( 0 \) до \( m-1 \) (где \( m \) — делитель). Находясь в пределах этого диапазона, давайте проанализируем максимальные и минимальные возможные значения сумм остатков:

#### Для Саши:
- Максимальные остатки: \( 301, 302, 303 \)
- Минимальные остатки: \( 0, 0, 0 \)

Следовательно, 
\[
S_S \text{ может принимать значения в диапазоне } [0, 301 + 302 + 303] = [0, 906].
\]

#### Для Таи:
- Максимальные остатки: \( 99, 100, 101 \)
- Минимальные остатки: \( 0, 0, 0 \)

Следовательно,
\[
S_T \text{ может принимать значения в диапазоне } [0, 99 + 100 + 101] = [0, 300].
\]

### 5. Возможные значения разности
Теперь мы знаем, что:
- Максимальная сумма от остатков Саши: 906
- Максимальная сумма остатков Таи: 300

Разность между максимальным значением \( S_S \) и минимальным значением \( S_T \):
\[
906 - 0 = 906
\]
Разность между минимальным значением \( S_S \) и максимальным значением \( S_T \):
\[
0 - 300 = -300
\]

Следовательно, \( S_S - S_T \) может принимать значения в диапазоне от \( -300 \) до \( 906 \).

### 6. Заключение
Таким образом, мы видим, что разность \( S_S - S_T \) может варьироваться, но диапазон этой разности от \( -300 \) до \( 906 \) не включает 777. Это означает, что суммы остатков от деления, найденные Сашей и Тая, не могут отличаться на 777.

**Ответ:** Суммы остатков от деления, найденные Сашей и Тая, не могут отличаться на 777.