Как найти 2 числа, если их сумма равна их произведению и равна их частному?

Итак, у нас есть условие для двух чисел \( a \) и \( b \): 

1. \( a + b = a \cdot b \) 
2. \( a + b = \frac{a}{b} \) 

Нам нужно найти все возможные пары \( (a, b) \) и определить, существуют ли другие решения, кроме найденных.

### Шаг 1: Изучение первого условия

Начнем с уравнения суммы и произведения:

\[
a + b = a \cdot b
\]

Перепишем его так:

\[
a \cdot b - a - b = 0
\]

Это уравнение можно переписать, добавив 1 с обеих сторон:

\[
a \cdot b - a - b + 1 = 1
\]

Теперь, заметим, что это уравнение можно факторизовать:

\[
(a - 1)(b - 1) = 1
\]

Это равенство говорит нам, что произведение чисел \( (a-1) \) и \( (b-1) \) должно равняться 1. Это возможно, если один из множителей равняется 1, а другой — 1, или один равен -1, а другой — -1.

### Шаг 2: Определение решений из факторизации

Существует несколько вариантов решения для \( (a - 1)(b - 1) = 1 \):

1. \( a - 1 = 1 \) и \( b - 1 = 1 \):
   - Тогда \( a = 2 \), \( b = 2 \).

2. \( a - 1 = -1 \) и \( b - 1 = -1 \):
   - Тогда \( a = 0 \), \( b = 0 \).

Также, чтобы удовлетворить условию произведения разных чисел:

1. \( a - 1 = n \) и \( b - 1 = \frac{1}{n} \) для любого \( n \neq 0 \) (т.е. \( n \) может принимать любые положительные или отрицательные значение).

### Шаг 3: Исследуем второе условие

Теперь рассмотрим второе условие, которое устанавливает равенство суммы и частного:

\[
a + b = \frac{a}{b}
\]

Перепишем его:

\[
(a + b) \cdot b = a
\]

Подставим \( a + b = c \) (где \( c \) — это сумма чисел):

\[
c \cdot b = a \, \Rightarrow \, a = c \cdot b
\]

Теперь подставим обратно в длинное равенство \( c = a + b \):

\[
c = c \cdot b + b \rightarrow c(1-b) = b
\]

Таким образом, расположив все переменные отдельно и анализировав их, мы можем далее решить это уравнение подставив результаты из первого условия.

### Шаг 4: Вывод общих решений

Из всех вышеперечисленных шагов, решением будет следующее:

1. \( (a, b) = (2, 2) \)
2. \( (a, b) = (0, 0) \)

### Проверка нетривиальных решений

Важно отметить, что множества дополнительных решений не существует при следующих условиях, ведь любое ненулевое значение в рамках данной зависимости приводит к ограничению по факторизации \( (a - 1)(b - 1) = 1 \). 

### Заключение

Подводя итоги, мы нашли два решения: пара \( (2, 2) \) и \( (0, 0) \). Других решений нет, так как уравнение строгих равенств предопределяет эти значения и исключает любые другие возможности. 

Эти результаты могут легко быть проверены подстановкой в оба оригинальных уравнения, после чего вы можете убедиться в их достоверности.