Как решить уравнение: (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) = 2 в натуральных числах?

Для решения уравнения 

\[
(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b})(1 + \frac{1}{c}) = 2
\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) – натуральные числа, начнем с приведения выражения к более удобному виду. Умножим обе стороны уравнения на \(abc\):

\[
abc \left(1 + \frac{1}{a}\right)\left(1 + \frac{1}{b}\right)\left(1 + \frac{1}{c}\right) = 2abc.
\]

Распишем левую часть уравнения:

\[
abc \left(1 + \frac{1}{a}\right) = bc + b + c,
\]
\[
abc \left(1 + \frac{1}{b}\right) = ac + a + c,
\]
\[
abc \left(1 + \frac{1}{c}\right) = ab + a + b.
\]

Теперь у нас получается:

\[
(bc + b + c)(ac + a + c)(ab + a + b) = 2abc.
\]

Далее преобразуем уравнение. Это, однако, довольно трудоемко, поэтому вернемся к исходному выражению и перепишем его в более удобной форме:

\[
xyz = 1,
\]

где

\[
x = 1 + \frac{1}{a}, \quad y = 1 + \frac{1}{b}, \quad z = 1 + \frac{1}{c}.
\]

Эта формулировка показывает, что \(x\), \(y\) и \(z\) взаимосвязаны. Поскольку произведение равно \(2\), можно записать:

\[
xyz = 2.
\]

Наиболее простые натуральные делители числа 2: \(1\) и \(2\). Таким образом, \(x\), \(y\) и \(z\) могут принимать значения \(1, 1, 2\) (с учетом симметрии).

Теперь по каждому из значений:

1. \(x = 2, \, y = 1, \, z = 1\), что соответствует \(1 + \frac{1}{a} = 2\) (т.е. \(a = 1\)), и \(1 + \frac{1}{b} = 1\), \(1 + \frac{1}{c} = 1\) (т.е. \(b\) и \(c\) стремятся к бесконечности). Это дает решение \((1, b, c)\), где \(b\) и \(c\) могут быть любыми большими числами на бесконечном количестве.

2. Аналогично, перестановки значений дают \((b, 1, c)\) и \((c, b, 1)\). Таким образом, у нас есть решения на основе работы с пермутациями.

Теперь запишем все уникальные значения:

- Все такие комбинации включают \( (1, 1, n) \), где \(n\) – любой натуральный, больший чем 1. Однако, оставаясь в пределах чисел, где суммы равны, на самом деле повторяются. 

Резюмируя:
- Если два числа равны \(1\), и одно число \(n\) больше \(2\), всего решения:
  - \((1, 1, n) \text{ для } n \geq 1\).

Таким образом, количество уникальных решений с учетом симметрии у нас следующее:

- \(1, 1, n\)
- \(1, n, 1\)
- \(n, 1, 1\)

Где количество различных возможных \(n\) будет бесконечным.

Итак, мы находим, что:

- У нас есть бесконечное количество решений, потому что естественным образом нам не ограничено значение \(n\), и хотя бы два из значений могут быть равными и больше \(2\). 

Следовательно, на вопрос, сколько уникальных решений с учетом перестановок мы имеем – ответ: **бесконечно много уникальных решений**.