Как найти сумму кубов (x³ + y³), если (x + y) = 3 и (x² + y²) = 5?

Чтобы найти сумму кубов двух чисел \( x \) и \( y \), заданных условиями \( x + y = 3 \) и \( x^2 + y^2 = 5 \), воспользуемся известными алгебраическими формулами. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

### Шаг 1: Используем известные формулы

Существует интересная формула, связывающая сумму кубов двух чисел с их суммой и суммой квадратов:

\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\]

### Шаг 2: Найдем \( xy \)

Мы знаем \( x + y = 3 \) и \( x^2 + y^2 = 5 \). Сначала найдем произведение двух чисел \( xy \) с помощью известного соотношения между суммой и суммой квадратов:

\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
\]
Подставляя известные значения:

\[
5 = 3^2 - 2xy
\]

Преобразуем уравнение:

\[
5 = 9 - 2xy \implies 2xy = 9 - 5 = 4 \implies xy = \frac{4}{2} = 2
\]

### Шаг 3: Подставим значения в формулу для суммы кубов

Теперь, имея \( x + y = 3 \) и \( xy = 2 \), мы можем найти \( x^2 - xy + y^2 \):

\[
x^2 + y^2 = 5 \implies x^2 - xy + y^2 = x^2 + y^2 - xy = 5 - 2 = 3
\]

### Шаг 4: Найдем сумму кубов

Теперь подставим найденные значения в формулу для суммы кубов:

\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 3 \cdot 3 = 9
\]

### Шаг 5: Подтверждение результата

Подводя итог, мы нашли, что сумма кубов \( x \) и \( y \) равна 9. Чтобы подтвердить правильность нашего решения, можем рассмотреть более глубокое понимание связи между этими величинами.

### Дополнительные размышления

- **Геометрическая интерпретация**: Сумма кубов может быть истолкована как объем куба, построенного на этих величинах. Это может подсказать о том, как числа влияют на общую "массу" результата при операциях.
  
- **Применение в реальных задачах**: Знание о таких свойствах кубов может найти применение в задачах, связанных с оптимизацией или теорией чисел.

- **Далее исследовать**: Если бы, например, сумма квадратов была больше или меньше заданного значения, мы могли бы использовать другой подход, например, исследовать полиномы, имеющие \( x \) и \( y \) как корни.

Заключение: Сумма кубов \( x^3 + y^3 \) для данных условий равна 9.