Как решить: На высоте AD остроугольного треугольника ABC выбрана точка K?

Чтобы доказать, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности, начнем с понимания геометрической конфигурации.

### Шаг 1: Определение точек
1. Треугольник ABC — остроугольный, с высотой AD, где D — основание высоты на стороне BC.
2. Точка K — произвольно выбранная точка на высоте AD.
3. Проекции M и N — это перпендикуляры, опущенные из точки K на стороны AB и AC соответственно.

### Шаг 2: Изучение углов
Теперь давайте рассмотрим углы, которые образуются в данной конфигурации:

- Угол ∠BMK — это угол между отрезком BM и базой AB.
- Угол ∠CNK — угол между отрезком CN и базой AC.

### Шаг 3: Связь углов
Теперь обратим внимание на угол между отрезками BM и CN. Поскольку точки M и N — это проекции точки K на стороны AB и AC, углы ∠BMK и ∠CNK будут равны.

- Угол ∠BMK соответствует углу ∠BKC (поскольку угол K остается неизменным при проекции на стороны).
- То же самое можно сказать про угол ∠CNK, который также будет равен углу ∠CKB.

### Шаг 4: Угловая зависимость
Таким образом, мы получаем, что:

\
angle BMK + angle CNK = angle BKC + angle CKB
\

Согласно теореме о четырёх точках на окружности, если сумма углов, опирающихся на одну и ту же сторону, равна 180 градусам, то четыре точки (B, C, M, N) лежат на одной окружности.

### Шаг 5: Используемый критерий окружности
Итак, чтобы доказать, что точки B, C, M и N лежат на одном круге, нужно показать:

\
angle BMC + angle BNC = 180^circ
\

Учитывая, что углы ∠BMC и ∠BNC являются углами, опирающимися на одну секущую (то есть, отрезок BC), мы пришли к выводу, что:

1. Угол ∠BMC + угол ∠BNC = 180°
2. Значит, четырёхугольник BMNC является циклами, что подтверждает, что B, C, M и N лежат на одной окружности.

### Шаг 6: Заключение
Таким образом, мы с помощью изучения углов и их зависимости доказали, что точки B, C, M и N действительно lie on circle (на одной окружности):

- Угловое соотношение — ключевой момент нашего доказательства.
- Геометрическая интерпретация — высота и проекции создают особые углы, позволяя использовать свойства окружности.

### Вывод
Используя свойства углов, образованных с помощью проекций и высоты в остроугольном треугольнике, мы пришли к выводу, что заданные точки действительно лежат на одной окружности. Это решение подчеркивает важность изучения углов и их отношений в геометрии, а также даёт понимание того, как разные элементы треугольника взаимодействуют друг с другом.