Как решить: В классе 35 человек, среди них два друга – Даня и Ваня?

Решение задачи о вероятности того, что два друга – Даня и Ваня – окажутся в разных группах, можно представить в виде последовательных шагов. Давайте рассмотрим этот процесс более подробно.

### Шаг 1: Общее количество учеников и групп

В классике 35 учеников, и нам необходимо разбить их на 7 равных групп. Это означает, что в каждой группе будет по 5 человек.

### Шаг 2: Выбор группы для Дани

Предположим, что мы сначала определим, в какую группу попадет Даня. Поскольку разбиение на группы происходит случайным образом, у него есть равные шансы попасть в любую из 7 групп.

### Шаг 3: Определение группы для Вани

Теперь рассмотрим, в какую группу может попасть Ваня. Если Даня уже находится в одной из групп, то у Вани есть 6 оставшихся групп, куда он может попасть, чтобы оказаться в другой группе.

### Шаг 4: Подсчет итоговых вариантов

Теперь давайте подсчитаем количество способов распределения учеников по группам и желаемый случай (когда Даня и Ваня в разных группах).

1. **Общее количество способов разбить класс на 7 групп** (с учетом, что порядок не важен и группы равны):
   Мы можем использовать формулу для разделения \( n \) объектов на \( k \) равных групп, которая представлена через многочлен Стирлинга второго рода. Однако в данном случае можно использовать более простой подход — сначала определим общее количество способов, как разбить 35 учеников на 7 групп по 5 человек. Общее количество способов будет равно:
   \[
   \frac{35!}{(5!)^7 \cdot 7!}
   \]
   где \( 7! \) — для учета перестановок самих групп (порядок групп не важен), а \( (5!)^7 \) — для учета перестановок внутри каждой группы.

2. **Количество способов разбить классов, если Даня и Ваня в разных группах**:
   - Если Даня попадает в одну из групп (например, группу A), осталось 34 ученика, включая Ваню. Ваня может попасть в одну из 6 оставшихся групп. После того как Даня и Ваня распределены, оставшиеся 33 ученика мы можем свободно распределить на 6 групп по 5 человек:
   \[
   \frac{33!}{(5!)^6 \cdot 6!}
   \]
   - Учитывая 7 вариантов для группы, в которую может попасть Даня, общее количество способов для распределения Дани и Вани в разные группы:
   \[
   7 \cdot 6 \cdot \frac{33!}{(5!)^6 \cdot 6!}
   \]

### Шаг 5: Вероятность

Теперь, чтобы найти вероятность того, что Даня и Ваня окажутся в разных группах, мы делим количество благоприятных исходов на общее количество исходов:
\[
P(\text{разные группы}) = \frac{7 \cdot 6 \cdot \frac{33!}{(5!)^6 \cdot 6!}}{\frac{35!}{(5!)^7 \cdot 7!}} 
\]

Здесь можно сократить дробь:
\[
= \frac{7 \cdot 6 \cdot (33! \cdot (5!)^7 \cdot 7!)}{(5!)^6 \cdot 6! \cdot 35!}
= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 7!}{6! \cdot 35 \cdot 34}
\]
Упростив, мы получаем:
\[
= \frac{42}{105}
\]
И далее сокращаем дробь до:
\[
= \frac{2}{5}
\]

### Итог

Таким образом, вероятность того, что Даня и Ваня окажутся в разных группах составляет \(\frac{2}{5}\). Это означает, что в 40% случаев два друга могут оказаться в разных группах, что подчеркивает случайный характер распределения. В данной задаче мы использовали основные принципы комбинаторики и вероятности, что позволяет с уверенностью утверждать, что наши расчеты верны.