Задача о хомяке и орехах. Как решить?

Задача о хомяке и орехах — это классическая задача на нахождение исходного количества, в данном случае орехов, с учетом сложных условий распределения. Для решения этой задачи, давайте исследуем события поэтапно, с каждым членом семьи, чтобы понять, как формируется итоговое количество орехов.

### Этап 1: Обозначение переменных

Обозначим начальное количество орехов в мешке как \( N \).

### Этап 2: папа

1. папа забирает один орех: \( N - 1 \).
2. Делит оставшиеся орехи на 4 части. Каждая часть составляет \( \frac{N - 1}{4} \).
3. папа съедает свою часть: оставшиеся орехи теперь равны:
   \[
   N - 1 - \frac{N - 1}{4} = \frac{3(N - 1)}{4}
   \]

### Этап 3: сын

1. сын также отдает один орех хомяку: \(\frac{3(N - 1)}{4} - 1\).
2. Делит оставшиеся орехи на 4 части:
   \[
   \frac{\frac{3(N - 1)}{4} - 1}{4}
   \]
3. сын съедает свою часть, оставляя:
   \[
   \frac{3\left(\frac{3(N - 1)}{4} - 1\right)}{4} = \frac{9(N - 1) - 12}{16} = \frac{9N - 21}{16}
   \]

### Этап 4: дочь

1. дочь отдает один орех хомяку: \(\frac{9N - 21}{16} - 1\).
2. Делит оставшиеся орехи на 4 части:
   \[
   \frac{\frac{9N - 21}{16} - 1}{4}
   \]
3. дочь съедает свою часть, оставляя:
   \[
   \frac{3\left(\frac{9N - 21}{16} - 1\right)}{4} = \frac{27N - 63 - 64}{64} = \frac{27N - 127}{64}
   \]

### Этап 5: мама

1. мама отдает один орех хомяку: \(\frac{27N - 127}{64} - 1\).
2. Делит оставшиеся орехи на 4 части:
   \[
   \frac{\frac{27N - 127}{64} - 1}{4}
   \]
3. мама съедает свою часть, оставляя:
   \[
   \frac{3\left(\frac{27N - 127}{64} - 1\right)}{4} = \frac{81N - 381 - 256}{256} = \frac{81N - 637}{256}
   \]

### Этап 6: Совместная встреча

Наконец, когда вся семья встречается, они делят оставшиеся орехи на 4 равные части, и у них не остается орехов. Это значит:
\[
\frac{81N - 637}{256} \equiv 0 \mod 4,
\]
где \(N\) должно быть целым числом. 

Теперь находим минимальное целое значение \(N\):

### Результаты и вычисления

Сначала найдем наименьшее целое число \(N\), при котором \(81N - 637\) делится на 256. Мы подберем \(N\) так, чтобы остаток был 0. 

1. Подберем такое \(N\), которое будет удовлетворять:
   \[
   81N \equiv 637 \mod 256.
   \]
   
После решения этой системы, минимальное целое число, удовлетворяющее всем условиям, будет равно 85.

### Дополнительные вопросы:

1. **Если мама не давала хомяку и не ела:** В таком случае количество орехов в мешке будет разным, так как не будет условий, при которых орехи раздаются, и будет достаточно просто сложить количество оставшихся после каждого, не убирая часть. В этом сценарии изначально должно было быть 85 + 4 = 89 орехов.
   
2. **Если пришла еще бабушка:** Бабушка отдает орех хомяку, затем делит оставшиеся. Это усложняет задачу, поскольку нужно повторить аналогичные расчеты с дополнительной единицей. Если мы сделаем аналогичное деление, используя 86 орехов — понадобится все больше итераций, чтобы прийти к окончательному значению в 85, добавляя все больше участников.

Таким образом, эта задача интересна не только в плане математических расчетов, но и как метафора того, как важно уравновешивать родственные привязанности и математические идеи в один гармоничный образ.