Около окружности r=3 описана трапеция, её периметр 30. Как найти площадь?

Для решения задачи о нахождении площади трапеции, описанной около окружности радиусом \( r = 3 \) и имеющей периметр \( P = 30 \), следуем последовательному подходу. Мы будем использовать свойства вписанных фигур и формулы для вычисления площади трапеции.

### Шаг 1: Понимание задачи

Трапеция, описанная около окружности, имеет следующие важные свойства:
- Сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон (это свойство описанных фигур).
- Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту.

### Шаг 2: Определение параметров

Пусть \( a \) и \( b \) - длины оснований трапеции, а \( c \) и \( d \) - длины боковых сторон. Из условия периметра имеем:
\[
a + b + c + d = 30
\]
Согласно свойству описанной трапеции, имеет место следующее равенство:
\[
c + d = a + b
\]
Теперь можем выразить боковые стороны через основания:
\[
c + d = 15
\]
Это указывает на то, что их сумма равна половине периметра. Теперь мы можем выразить боковые стороны:
\[
c = 15 - b, \quad d = 15 - a
\]

### Шаг 3: Установка величин

Поскольку имеется описанная окружность радиусом \( r \), можем использовать соотношение между основанием и высотой. Из свойства описанной окружности для треугольника:
\[
h = \frac{2S}{a + b}
\]
где \( S \) - площадь трапеции, а \( h \) - её высота.

Площадь трапеции \( S \) можно также выразить как:
\[
S = \frac{(a + b)h}{2}
\]

### Шаг 4: Параметры для высоты и площади

Также знаем, что радиус окружности \( r \) связан с высотой и основанием так:
\[
r = \frac{S}{p}
\]
где \( p \) - полупериметр. Рассчитаем полупериметр:
\[
p = \frac{30}{2} = 15
\]
Теперь подставим формулу для \( S \):
\[
3 = \frac{S}{15} \Rightarrow S = 3 \cdot 15 = 45
\]

### Шаг 5: Подтверждение

Итак, мы вычислили, что площадь трапеции равна \( 45 \). Однако, стоит удостовериться, что все произведено корректно, учитывая полученные значения \( c + d \) и свойства окружности.

### Шаг 6: Итог

Таким образом, окончательная площадь трапеции, описанная около окружности радиусом 3 и имеющей периметр 30, равна:
\[
\boxed{45}
\]

### Итоговые мысли

Эта задача показывает, как важно использовать свойства геометрических фигур, включая связи между сторонами и высотой. Решая такие задачи, следует помнить о взаимосвязи между элементами фигуры и учиться выявлять данные из условия, чтобы получить требуемый результат без лишних действий.