Как решить: Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 5?

Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов в правильном шестиугольнике ABCDEF, где сторона шестиугольника равна 5, давайте последовательно разберем важные моменты.

### 1. Определение правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник — это многоугольник с шестью равными сторонами и равными углами. Углы в правильном шестиугольнике равны 120°. Каждый внутренний угол составляет 120°, а длина всех сторон равна 5.

### 2. Координаты вершин шестиугольника
Для удобства представим шестиугольник в прямоугольной системе координат. Если мы разместим одну из вершин на оси X, то координаты вершин (при радиусе окружности, описанной около шестиугольника, равном 5) будут:

- A(5, 0)
- B(2.5, 4.33)   (используя cos(60°) и sin(60°))
- C(-2.5, 4.33)
- D(-5, 0)
- E(-2.5, -4.33)
- F(2.5, -4.33)

Эти координаты получены из формулы, используя радиус шестиугольника:

\[
B(x, y) = (R \cdot \cos(60° \cdot n), R \cdot \sin(60° \cdot n))
\]
где \( n \) — номер вершины (от 0 до 5), а \( R = 5 \).

### 3. Векторы шестиугольника
Теперь определим векторы. Векторы в шестиугольнике можно задать между парами его вершин, например:

- Вектор \( A \to B \):
  \[
  \vec{AB} = B - A = (2.5 - 5, 4.33 - 0) = (-2.5, 4.33)
  \]

- Вектор \( A \to C \):
  \[
  \vec{AC} = C - A = (-2.5 - 5, 4.33 - 0) = (-7.5, 4.33)
  \]

Можно продолжить определять другие векторы, но давайте сосредоточимся на двух наиболее важных: \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

### 4. Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} = (u_1, u_2) \) и \( \vec{v} = (v_1, v_2) \) вычисляется по формуле:

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2
\]

Подставим значения для векторов \( \vec{AB} = (-2.5, 4.33) \) и \( \vec{AC} = (-7.5, 4.33) \):

\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2.5) \cdot (-7.5) + (4.33) \cdot (4.33)
\]

Теперь посчитаем произведения:

1. Первое слагаемое:
   \[
   (-2.5) \cdot (-7.5) = 18.75
   \]

2. Второе слагаемое:
   \[
   (4.33) \cdot (4.33) \approx 18.75 (приблизительное значение)
   \]

Сложим результаты:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} \approx 18.75 + 18.75 = 37.5
\]

### 5. Итоговое значение
Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) будет равно:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} \approx 37.5
\]

Важно помнить, что в правильном шестиугольнике угол между любыми двумя соседними векторами составляет 120° и он влияет на конечный результат. 

### 6. Заключение
Таким образом, вы нашли скалярное произведение двух векторов в правильном шестиугольнике, используя геометрические свойства шестиугольника и правила вычисления векторов. Ответ на задачу — это не только хорошая практика, но и углубленное понимание того, как работают векторы и их произведения в геометрии многоугольников.