Как решить: Боковое ребро правильной четырехугольной призмы равно 2?

Для решения задачи о правильной четырехугольной призме с боковым ребром, равным 2, и площадью поверхности, равной 154, нужно воспользоваться несколькими геометрическими и арифметическими соотношениями. Давайте разберёмся с этой задачей поэтапно.

1. Понимание конструкции призмы

Правильная четырехугольная призма состоит из двух квадратных оснований и четырёх прямоугольных боковых граней. В данном случае боковое ребро (высота призмы) равно 2. Обозначим сторону основания призмы как \( a \).

2. Формулы для площади поверхности призмы

Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы можно выразить через площадь оснований и боковых граней:

\[
S_{поверхности} = 2S_{основания} + S_{боковые}
\]

3. Вычисление площади основания и боковых граней

Площадь квадратного основания пирамида вычисляется по формуле:

\[
S_{основания} = a^2
\]

Площадь боковых граней, состоящих из четырех прямоугольников (каждое из которых имеет высоту равную 2 и ширину равную \( a \)), равна:

\[
S_{боковые} = 4 \cdot (a \cdot h) = 4 \cdot (a \cdot 2) = 8a
\]

4. Подстановка в формулу площади поверхности

Таким образом, выражение для общей площади поверхности будет выглядеть следующим образом:

\[
S_{поверхности} = 2a^2 + 8a
\]

5. Установка уравнения

По условию задачи площадь поверхности призмы равна 154. Мы записываем уравнение:

\[
2a^2 + 8a = 154
\]

6. Упрощение уравнения

Для упрощения уравнения разделим все члены на 2:

\[
a^2 + 4a - 77 = 0
\]

7. Решение квадратного уравнения

Теперь можем решить данное квадратное уравнение по формуле корней:

\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]
где \( D = b^2 - 4ac \) — дискриминант.

Подставляем значения \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -77 \):

\[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324
\]

Вычисляем корень:

\[
\sqrt{D} = 18
\]

Теперь подставляем в формулу для нахождения корней:

\[
a = \frac{-4 \pm 18}{2}
\]

8. Получение корней

Выделяем два корня:

\[
a_1 = \frac{14}{2} = 7
\]
\[
a_2 = \frac{-22}{2} = -11
\]

Так как сторона основания не может быть отрицательной, оставляем только положительный корень. Итак, сторона основания призмы:

\[
a = 7
\]

9. Проверка

Для проверки подставим \( a = 7 \) обратно в формулу площади поверхности:

\[
S_{основания} = 7^2 = 49
\]
\[
S_{боковые} = 8 \cdot 7 = 56
\]
\[
S_{поверхности} = 2 \cdot 49 + 56 = 98 + 56 = 154
\]

Всё верно, задача решена корректно. 

Заключение

Таким образом, сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 7. Этот процесс иллюстрирует важность последовательного подхода к решению задач через применение формул и проверку полученных результатов.