В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС =11, tgA = 3/√3. Как найти AB?

Чтобы найти длину стороны \( AB \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом в точке \( C \), где \( AC = 11 \) и \( \tan A = \frac{3}{\sqrt{3}} \), следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Понять тригонометрические соотношения

В треугольнике \( ABC \) у нас есть:
- \( \angle C = 90^\circ \).
- \( AC = 11 \) (катет, противолежащий углу \( A \)).
- \( \tan A = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).

Зная, что тангенс угла \( A \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
\[
\tan A = \frac{BC}{AC}.
\]

Шаг 2: Найти сторону \( BC \)

Подставим известное значение:
\[
\tan A = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{BC}{AC} = \sqrt{3}.
\]
Так как \( AC = 11 \), можем выразить \( BC \):
\[
BC = AC \cdot \tan A = 11 \cdot \sqrt{3} \approx 11 \cdot 1.732 \approx 19.052.
\]

Шаг 3: Найти длину стороны \( AB \)

Для нахождения стороны \( AB \) воспользуемся теоремой Пифагора:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2.
\]

Теперь подставим известные значения:
- \( AC^2 = 11^2 = 121 \).
- \( BC^2 = (11 \cdot \sqrt{3})^2 = 121 \cdot 3 = 363 \).

Поставим данные в формулу:
\[
AB^2 = 121 + 363 = 484.
\]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[
AB = \sqrt{484} = 22.
\]

Итог

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( 22 \).

Заключение

В качестве дополнительного комментария отметим, что такие задачи часто встречаются в экзаменах по математике, особенно на экзамене ЕГЭ. Это поможет не только закрепить знания в области тригонометрии и геометрии, но и развить навыки логического мышления. Успешная работа с такими задачами требует внимательности при переводе тригонометрических отношений в выражения и правильного применения теорем. Не забывайте всегда проверять свои результаты, чтобы избежать ошибок.