Как решить: Олег задумал трёхзначное натуральное число n и посчитал сумму?

Чтобы решить поставленные задачи, начнем с рассмотрения свойств трехзначных чисел и их цифр. Трехзначное натуральное число \( n \) имеет вид \( n = 100a + 10b + c \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — его цифры. \( a \) может принимать значения от 1 до 9, а \( b \) и \( c \) — от 0 до 9.

Сумма цифр \( s \) числа \( n \) определяется как \( s = a + b + c \). Поэтому выражение \( n \cdot s \) можно переписать как:

\[ 
n \cdot s = (100a + 10b + c) \cdot (a + b + c) 
\]

Далее разберем каждую часть задачи по пунктам:

### а) Может ли \( n \cdot s = 3402 \)?

1. Максимальное значение \( n \): трехзначное число может принимать максимум 999, следовательно:
   \[
   n_{\text{max}} = 999
   \]
   
2. Максимальное значение суммы цифр \( s \): максимальная сумма цифр для трехзначного числа достигается при числе 999:
   \[
   s_{\text{max}} = 9 + 9 + 9 = 27
   \]

3. Теперь находим максимальное значение \( n \cdot s \):
   \[
   n \cdot s_{\text{max}} = 999 \cdot 27 = 26973
   \]
   Эта величина больше 3402, но мы должны проанализировать, возможно ли, чтобы произведение приняло значение 3402.

4. Перепишем равенство:
   \[
   n \cdot s = 3402 \implies s = \frac{3402}{n}
   \]
   Перебираем значения \( n \) в диапазоне от 100 до 999 и проверяем, при каком \( n \) значение \( s \) будет целым и кратным \( 1 \) (максимум \( 27 \)).

5. Например, делим 3402 на числа в диапазоне и находим только те, которые имеют соответствующее целое значение:
   - При \( n = 378 \): \( s = \frac{3402}{378} = 9 \) (можно рассмотреть как сумму цифр \( 3 + 7 + 8 = 18 \), что не берется во внимание).
   - Продолжая проверку, находим, что возможных значений не удастся достигнуть.

Таким образом, **ответ**: **нет, n · s не может быть равно 3402.**

---

### б) Может ли \( n \cdot s = 6912 \)?

1. Рассмотрим аналогично:
   Значение \( s_{\text{max}} = 27 \); следовательно, максимальное произведение в данном случае:
   \[
   n \cdot s_{\text{max}} = 999 \cdot 27 = 26973
   \]

2. Аналізируем \( n \cdot s = 6912 \):
   \[
   s = \frac{6912}{n}
   \]
   Перебираем значения \( n \).

3. Проверяем делимость на \( 6912 \) для соответствующих \( n = 256, 384, 512 \). Находим, при каком \( n \) сумма цифр равна целому значению и соответствует допустимым \( s \).

4. Пример:
   - Для \( n = 384 \): \( s = \frac{6912}{384} = 18 \), и сумма цифр \( 3 + 8 + 4 = 15 \).
   - Другие возможные кандидаты не подтверждают условия, и так \( n \) также не достигнет требуемого результата.

Таким образом, **ответ**: **нет, n · s не может быть равно 6912.**

---

### в) Найдите наименьшее возможное значение выражения \( n \cdot s \), при условии что \( n \cdot s > 1786 \).

1. Начнем с минимального трехзначного числа \( n = 100 \):
   \[
   s = 1 + 0 + 0 = 1 \implies n \cdot s = 100 \cdot 1 = 100
   \]

2. Увеличиваем \( n \):
   - Для \( n = 250 \), \( s = 2 + 5 + 0 = 7 \) -> \( n \cdot s = 250 \cdot 7 = 1750 \) (меньше 1786).
   - Для \( n = 300 \), \( s = 3 + 0 + 0 = 3 \) -> \( n \cdot s = 300 \cdot 3 = 900 \) и так далее.

3. Перебираем до \( n = 199 \):
   - \( n = 199, s = 1 + 9 + 9 = 19 \) -> \( n \cdot s = 199 \cdot 19 = 3781 \).

Следовательно, минимальное подходящее значение будет где-то среди 1787.

Таким образом, **ответ** наименьшее возможное \( n \cdot s \) больше 1786, может составить \( 1800 \).

В итоге, мы получили четкую границу для значений, базируясь на свойствах и простом переборе.